Utledning kurveveksler

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til: navigasjon, søk

Utledning, formel for radier, kurveveksel

Her følger utledning av formler for radius i kurveveksler, gitt at dene ene av de to radiene er kjent. Formelgrunnlaget baserer seg på at stigningen i vekslene holdes konstant når den enkle vekselen bøyes.

I figuren under vises geometri for en enkel sporveksel med lang kurve og en utoverbøyd kurveveksel.

 Hastighetsprofil, elementnivå Hastighetsprofil, elementnivå, aggregert

Siden vinkelen [math]\alpha[/math] er liten, antas t å være tilnærmet lik både før og etter bøying av den enkle vekselen. Ved å benytte cosinussetningen:

[math] C^2 = A^2+B^2-2AB\cdot cos(\gamma) [/math]


oppnås følgende sammenheng mellom radier og vinkel, [math]\alpha[/math]:

[math] (R+r)^2 = (r+x)^2+(R+x)^2-2(r+x)(R+x)\cdot cos(\pi-\alpha) [/math]


Videre bearbeiding av denne ligningen gir:

[math] Rr = rx+x^2+Rx+(Rr+Rx+rx+x^2)\cdot cos(\alpha) [/math]

[math] R(r-x-rcos(\alpha)-xcos(\alpha)) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) [/math]

[math] R\left (r(1-cos(\alpha))-x(1+cos(\alpha))\right ) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) [/math]

[math] R\left (r\cdot\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}-x\right ) = x(r+x) [/math]


Ved å benytte den trigonometriske identiteten:

[math] tan^2(\alpha/2)=\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)} [/math]


gir dette videre:

[math] R\left (\frac{r}{x}\cdot tan^2(\alpha/2)-1\right ) = r+x [/math]


Fra geometrien i den enkle vekselen, kan vi nå innføre:

[math] tan(\alpha/2) = \frac{t}{r_0} [/math]


Merk at dette er en tilnærming som kun er gyldig når stigningen i vekselen kan ses på som liten.

Ved å også benytte at

[math] tan(\alpha/2) = \frac{x}{t} [/math]

[math] \frac{t}{r_0} = \frac{x}{t} [/math]

får vi

[math] R(\frac{r\cdot r_0}{t^2}\cdot\frac{t^2}{r_0^2}-1) = r+\frac{t^2}{r_0} [/math]

og til slutt

[math] R = \frac{r\cdot r_0+t^2}{r-r_0} [/math]



Denne ligningen kan også løses for r, og uttrykket blir da

[math] r = \frac{R\cdot r_0+t^2}{R-r_0} [/math]




Alternativ løsning

En mer nøyaktig sammenheng mellom R og r kan oppnås ved å benytte følgende sammenhenger, som er basert på at vekselen ikke endrer lengde når den bøyes:

[math] 2t=R\beta [/math]

[math] r_0\alpha=r\xi [/math]


og enten

[math] \alpha=\beta+\xi [/math]

for utoverbøyd veksel, eller

[math] \alpha=\xi-\beta [/math]

for innoverbøyd veksel.

Dette gir

[math] R = \pm\frac{2r_0\cdot tan(\alpha/2)}{\alpha\cdot(1-\frac{r_0}{r})} [/math]

for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.

Dersom det løses for r, blir resulterende ligning

[math] r = \frac{r_0}{1\mp\frac{2r_0\cdot tan(\alpha/2)}{R\alpha}} [/math]

for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.

Lokale koordinater

Lokale koordinater kan også beregnes fra noen geometriske betraktninger. FEIL

Enkel veksel med skinnekryss


Spissvinkelen til skinnekrysset, [math]\phi[/math], kan beregnes ved

[math] cos(\phi) = \frac{r_0-s/2}{r_0+s/2} [/math]


Eventuelt kan dette skrives

[math] tan(\phi) = \frac{2\cdot \sqrt{2r_0\cdot s}}{2r_0-s} [/math]