Utledning kurveveksler
Utledning, formel for radier, kurveveksel
Her følger utledning av formler for radius i kurveveksler, gitt at dene ene av de to radiene er kjent. Formelgrunnlaget baserer seg på at stigningen i vekslene holdes konstant når den enkle vekselen bøyes.
I figuren under vises geometri for en enkel sporveksel med lang kurve og en utoverbøyd kurveveksel.
Siden vinkelen [math]\alpha[/math] er liten, antas t å være tilnærmet lik både før og etter bøying av den enkle vekselen. Ved å benytte cosinussetningen:
[math] C^2 = A^2+B^2-2AB\cdot cos(\gamma) [/math]
oppnås følgende sammenheng mellom radier og vinkel, [math]\alpha[/math]:
[math] (R+r)^2 = (r+x)^2+(R+x)^2-2(r+x)(R+x)\cdot cos(\pi-\alpha) [/math]
Videre bearbeiding av denne ligningen gir:
[math] Rr = rx+x^2+Rx+(Rr+Rx+rx+x^2)\cdot cos(\alpha) [/math]
[math] R(r-x-rcos(\alpha)-xcos(\alpha)) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) [/math]
[math] R\left (r(1-cos(\alpha))-x(1+cos(\alpha))\right ) = (rx+x^2)(1+cos(\alpha)) [/math]
[math] R\left (r\cdot\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)}-x\right ) = x(r+x) [/math]
Ved å benytte den trigonometriske identiteten:
[math] tan^2(\alpha/2)=\frac{1-cos(\alpha)}{1+cos(\alpha)} [/math]
gir dette videre:
[math] R\left (\frac{r}{x}\cdot tan^2(\alpha/2)-1\right ) = r+x [/math]
Fra geometrien i den enkle vekselen, kan vi nå innføre:
[math] tan(\alpha/2) = \frac{t}{r_0} [/math]
Merk at dette er en tilnærming som kun er gyldig når stigningen i vekselen kan ses på som liten.
Ved å også benytte at
[math] tan(\alpha/2) = \frac{x}{t} [/math]
[math] \frac{t}{r_0} = \frac{x}{t} [/math]
får vi
[math] R(\frac{r\cdot r_0}{t^2}\cdot\frac{t^2}{r_0^2}-1) = r+\frac{t^2}{r_0} [/math]
og til slutt
[math] R = \frac{r\cdot r_0+t^2}{r-r_0} [/math]
Denne ligningen kan også løses for r, og uttrykket blir da
[math] r = \frac{R\cdot r_0+t^2}{R-r_0} [/math]
Alternativ løsning
En mer nøyaktig sammenheng mellom R og r kan oppnås ved å benytte følgende sammenhenger, som er basert på at vekselen ikke endrer lengde når den bøyes:
[math] 2t=R\beta [/math]
[math] r_0\alpha=r\xi [/math]
og enten
[math] \alpha=\beta+\xi [/math]
for utoverbøyd veksel, eller
[math] \alpha=\xi-\beta [/math]
for innoverbøyd veksel.
Dette gir
[math] R = \pm\frac{2r_0\cdot tan(\alpha/2)}{\alpha\cdot(1-\frac{r_0}{r})} [/math]
for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.
Dersom det løses for r, blir resulterende ligning
[math] r = \frac{r_0}{1\mp\frac{2r_0\cdot tan(\alpha/2)}{R\alpha}} [/math]
for henholdsvis utoverbøyd og innoverbøyd veksel.
Lokale koordinater
Lokale koordinater kan også beregnes fra noen geometriske betraktninger. FEIL
Spissvinkelen til skinnekrysset, [math]\phi[/math], kan beregnes ved
[math] cos(\phi) = \frac{r_0-s/2}{r_0+s/2} [/math]
Eventuelt kan dette skrives
[math] tan(\phi) = \frac{2\cdot \sqrt{2r_0\cdot s}}{2r_0-s} [/math]