Termisk dimensjonering av ledere

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til: navigasjon, søk

1 Hensikt og omfang

I dette dokumentet er det utarbeidet en grunnleggende teoretisk beskrivelse termisk dimensjonering av ledere.

2 Grunnleggende krav

2.1 Generelt

Det grunnleggende kravet for termisk dimensjonering av en leder, er hvor høy temperatur det er akseptabelt å utsette lederen for. Det varierer med bruksområde og materialtype.

  • For ledere som er avspent under mekanisk strekk er det risiko for at høy temperatur varig svekker den mekaniske styrken. Dette begrenser maksimal temperatur som lederen får utsettes for.
  • For fast avspente ledere vil høy temperatur føre til stor pilhøyde og dermed liten klaring mot omgivelsene.
  • For loddavspente ledere, som kontakttråden og bærelina, vil høy temperatur kunne føre til at loddene beveger seg for langt ned mot bakken. Ved dimensjonerende temperatur begrenser dette hvor lange ledningsparter som kan benyttes.
  • For kabler og isolerte ledere vil for høy temperatur skade isolasjonen.
  • Uisolerte jord- og utjevningsledere er ofte ikke utsatt for mekanisk strekk, og for slike ledere er det akseptabelt med en høyere ledertemperatur. Praktisk begrenses temperaturen av faren for brann i materialer som lederen er i direkte kontakt med. Dersom lederen er utsatt for direkte berøring kan det også være nødvendig å ta høyde for fare for forbrenning.
  • For uisolerte ledere er det fare for at langvarig overtemperatur kan føre til akselerert korrosjon.

2.2 Krav til maksimal temperatur for ledere

Tabell 1: Temperaturgrenser i henhold til standarder
Bruk Standard Materiale Temperatur kontinuerlig [°C] Temperatur inntil 30 minutter [°C] Temperatur inntil 1 sekund (kortslutning) [°C] Kommentar
Opphengt kontaktledning EN 50119 "Railway applications - Fixed installations - Electric traction overhead contact lines" Kobber med normal og høy styrke og med god ledningsevne 80 120 170 Høyeste tillatte temperatur for mekanisk styrke til kontaktledningsanlegget.
Kobberlegering med sølv 100 150 200
Kobberlegering med tinn 100 130 170
Kobberlegering med magnesium/bronse (0,2) 100 130 170
Kobberlegering med magnesium/bronse (0,5) 100 150 200
Aluminiumslegeringer 80 - 130
ACSR/AACSR (Stålforsterket aluminium, Feral) 80 - 160
Opphengte, fast avspente ledere IEC 60865-1 "Short-circuit currents - Calculation of effects - Part 1: Definitions and calculation methods" Kobber, aluminium og aluminiumslegeringer - - 200 Standarden angir at temperaturene vil kunne føre til en neglisjerbar reduksjon i mekanisk styrke som erfaringsmessig ikke er stor nok til å påvirke anleggets drift.
Stål - - 300
Uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk NEK 440 (EN 50522)

NEK 445 (EN 50341-1)
alle materialer - - 300 Reell begrensning for uisolerte ledere for jording og utjevning er den temperaturen der materialer i kontakt med lederen kan selvantenne. For ledere i kontakt med plastikkmaterialer (PVC) kan dette være i størrelsesorden 390 grader. Løv og annet materiale selvantenner ofte mellom 200 og 400 °C.
Begrensningen for selve ledermaterialet ligger ved smeltepunktet på 1084,6 °C for kobber, 660,3 °C for aluminium, og 1538 °C for jern (legeringer vil avvike fra de angitte verdiene). For ledere begravet i jord kan smeltepunktet minus en margin være en akseptabel grenseverdi.
Standarden EN 50522 bruker 300 °C som eksempelverdi, og beregningene i denne læreboka bruker dette eksempelet videre.
Kabler og isolerte ledere IEC 60502-1 "Power cables with extruded insulation and their accessories for rated voltages from 1 kV (Um = 1,2 kV) up to 30 kV(Um = 36 kV) - Part 1: Cables for rated voltagesof 1 kV (Um = 1,2 kV) and 3 kV (Um = 3,6 kV)" Ledere med PVC-isolasjon 70 - 160 Isolasjonen begrenser maksimal ledertemperatur
Ledere med isolasjon i XLPE (tverrbundet polyetylen) eller EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi) 90 - 250
IEC 60502-2 "Power cables with extruded insulation and their accessories for rated voltages from 1 kV (Um = 1,2 kV) up to 30 kV (Um = 36 kV) - Part 2: Cables for rated voltages from 6 kV (Um = 7,2 kV) up to 30 kV (Um = 36 kV)" Kabler mellom 1 og 36 kV med XLPE isolasjon 90 - 250

For uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk strekk angir ikke standardene en maksimal temperatur for normal drift. I det videre er det antatt en tillatt maksimal kontinuerlig ledertemperatur på 100 °C for slike ledere. Konsekvensen ved overtemperatur er liten, slik at det her ikke er nødvendig å bruke gjennomgående konservative antakelser.

3 Varmebalanse

Ved beregning av temperatur i en leder må lederens varmebalanse legges til grunn. Varmebalansen angir at akkumulert varme i en leder er lik summen av all tilført varme minus summen av all avkjøling for lederen:


[math] \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = P_\text{el}+Q_\text{sol}-Q_\text{str}-Q_\text{konv}-Q_\text{kond} [/math] Ligning 1: Varmebalanse


Likningen er grunnlaget for termiske beregninger for:

  • kontinuerlig strømføringsevne,
  • dynamisk beregning av ledertemperatur ved varierende parametre - normalt varierende strømbelastning, og
  • oppvarming ved kortslutning.

I vedlegg A er hvert av leddende i varmebalansen beskrevet detaljert for en rund leder.

Tabell 2: Symbolforklaring, varmebalanse per løpende meter for lederen
Symbol Enhet Forklaring
[math]E[/math] J/m Netto termisk energi i ledermaterialet
[math]t[/math] s Tid
[math]P_\text{el}[/math] W/m Tilført elektrisk varme
[math]Q_\text{sol}[/math] W/m Tilført solvarme (for leder som utsettes for sol)
[math]Q_\text{str}[/math] W/m Avgitt strålingsvarme til omgivelsene (for leder i luft)
[math]Q_\text{konv}[/math] W/m Avgitt konvektiv varme til omgivelsene (for leder i luft)
[math]Q_\text{kond}[/math] W/m Avgitt konduktiv varme til omgivelsene (for leder i jord)

4 Kontinuerlig strøm

For beregning av kontinuerlig strømføringsevne tas det utgangspunkt i varmebalansen i Ligning 1, der man setter det tidsderiverte leddet [math]\frac{d \mathrm{E}}{d \mathrm{t}}[/math] lik 0, og utvide den elektriske varmen [math]P_{el} = r_{T} \cdot I^2[/math]. Da finner man følgende uttrykk for den kontinuerlige strømmen som gir en gitt temperatur:


[math] I = \sqrt{ \frac{1}{r_{T}} \cdot \left( Q_\text{str} + Q_\text{konv} + Q_\text{kond} - Q_\text{sol} \right) } [/math] Ligning 2: Kontinuerlig strøm

I dette uttrykket må resistansen [math]r_{T}[/math] og alle varmestrømmene evalueres ved tillatt maksimal ledertemperatur [math]T_\text{leder}[/math]. Dette er gjort for utvalgte uisolerte ledere i vedlegg A, og resultatet er vist i Tabell 3. Det ligger flere forutsetninger til grunn. De benyttede forutsetningene er rimelige for jordledere og utjevningsforbindelser.

  • Maksimal kontinuerlig ledertemperatur er satt til 100 °C for alle ledere.
  • For leder i luft er vindhastigheten satt til 0,3 m/s og dimensjonerende omgivelsestemperatur er satt til 25 °C.
    • Standarden IEC 60287-3-1 angir 25 °C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i luft for termisk dimensjonering av kabler i Norge. Faktisk omgivelsestemperatur vil sannsynligvis overstige dette noen dager i året. Konsekvensen av en kortvarig overtemperatur i lederen som følge av dette vurderes vanligvis som akseptabel.
    • 0,3 m/s antas å være rimelig for ledere som er forlagt nær eller på bakken; antas rimelig for utjevningsforbindelser.
  • For leder i jord er dimensjonerende omgivelsestemperatur 17 °C, jordsmonnets termiske ledeevne er satt til 0,5 W/(m·K), og dybden er satt til 0,5 m (dypt er konservativt for stasjonære forhold).
    • Standarden IEC 60287-3-1 angir 17°C som dimensjonerende omgivelsestemperatur i jord for termisk dimensjonering av kabler i Norge.


Tabell 3: Varmeflyt og lederresistans for uisolert leder i luft og i jord ved 100 °C ledertemperatur
Varmestrøm
Beregnet i Lenke: Vedlegg A
[W/m]
Lederresistans [10 -4 Ω/m]
Ledertverrsnitt
[mm2]
Qkonv
leder i luft
Qkond
leder i jord
Qstr
leder i luft
Qsol
leder utsatt for sol
Cu Al Stål
50 41,7680 47,2027 2,4487 5,0267 4,6979 7,4606 50,688
70 45,4945 48,6855 2,8973 5,9476 3,3556 5,3290 36,206
95 49,21916 50,1143 3,3753 6,9288 2,4726 3,9267 26,678
120 52,3119 50,2652 3,7935 7,7873 1,9575 3,1086 21,120

Med utgangspunkt i de beregnede varmestrømmene og lederresistansen ved høyeste tillatte kontinuerlige temperatur, er kontinuerlig strømføringsevne for de aktuelle lederne beregnet i Tabell 4

Tabell 4: Beregnet kontinuerlig strømføringsevne for uisolerte ledere som ikke er utsatt for mekanisk stress.
Ledertverrsnitt
[mm2]
Forlagt i jord
[A]
Forlagt i luft*
[A]
Cu Al Fe Cu Al Fe
50 317 ** 97 312 248 95
70 381 ** 116 387 307 118
95 450 ** 137 470 373 143
120 512 ** 156 547 434 166
* Verdiene er beregnet ved eksponering for sol.
For ledere som forlegges beskyttet mot sol, økes strømføringsevnen med ca 7 %.
** Uisolert aluminium kan ikke forlegges direkte i jord på grunn av fare for korrosjon.

5 Kortslutningsstrøm

5.1 Generelt

En kortslutning har kort varighet. Oppvarming av en leder under så raske forhold kan antas som adiabatisk, det vil si at andre varmestrømmer (oppvarming og avkjøling) enn den elektriske under kortslutningsforløpet neglisjeres. All tilført energi under kortslutningsforløpet går da til å varme opp ledermaterialet.

For å beregne temperaturøkningen i en leder under en kortslutning tar man igjen utgangspunkt i varmebalansen for lederen i Ligning 1, og setter alle andre varmestrømmer enn Pel lik 0. Da får man:

[math] \frac{dE}{dt} = P_{el} [/math]

Som vist i vedlegg A kan uttrykket utvides til:

[math] m \cdot c_p \cdot \frac{dT}{dt} = r_{ref} \cdot \left[ 1 + \alpha \cdot \left( T - T_{ref} \right) \right] \cdot I^2 [/math]

Fordi temperaturen, og dermed resistansen, ikke er konstant under kortslutningsforløpet, men øker jevnt, blir dette en differensiallikning. Differensiallikningen kan separeres med hensyn på temperaturen T og tiden t, og så integreres over kortslutningsforløpet:

[math] \int_{\theta_i}^{\theta_f} \frac{1}{1+\alpha \cdot \left( T - T_{ref} \right) } dT = \int_{t_0}^{t_0 + t_f} \frac{r_{ref} \cdot I^2}{m \cdot c_p} dt [/math]

Her er

  • θi ledertemperaturen før kortslutning,
  • θf er ledertemperaturen etter kortslutning, og
  • tf er varigheten av kortslutningen.

I denne utledningen antar vi at strømmen I og alle parametrene er konstante under kortslutningsforløpet. Løsningen for integralene er:

[math] \frac{1}{\alpha} \cdot \ln{ \left( \frac{\theta_f + \frac{1}{\alpha}-T_{ref}}{\theta_i + \frac{1}{\alpha}-T_{ref}} \right) } = \frac{r_{ref}}{m \cdot c_p} \cdot t_f \cdot I^2 [/math]

Dette resulatet kan ordnes slik at man finner ledertemperaturen etter kortslutning som funksjon av ledertemperatur før kortlsutning og kortslutningsstrøm: θf = fi,I):

[math] \theta_f = T_{ref}-\frac{1}{\alpha}+\left( \theta_i + \frac{1}{\alpha} - T_{ref} \right) \cdot e^{\frac{\alpha \cdot r_{ref}}{m \cdot c_p} \cdot t_f \cdot I^2} [/math]

I mange tilfeller vil man heller ordne resultatet slik at man finner tillatt maksimal kortslutningsstrøm som funksjon av tillatt maksimal ledertemperatur etter kortslutning, og ledertemperatur før kortslutning: I = fif):

[math] I = \sqrt{ \frac{m \cdot c_p}{\alpha \cdot r_{ref} \cdot t_f } \cdot \ln{ \left( \frac{\theta_f+\frac{1}{\alpha} - T_{ref}}{\theta_i+\frac{1}{\alpha} - T_{ref}} \right) }} [/math]

Den angitte formelen i NEK 440 og i NEK 445 for oppvarming av en leder under kortslutning er en forenkling av dette uttrykket, materialkonstantene er erstattet med to faktorer K og β. Sammenhengen mellom disse faktorene og konstantene i Ligning 8 er:

[math] \beta = \frac{1}{\alpha} - T_{ref} [/math]

og

[math] \begin{align} &K = \frac{1}{A} \cdot \sqrt{\frac{m \cdot c_p}{\alpha \cdot r_{ref}}} = \sqrt{\frac{\rho_m \cdot c_p}{\alpha \cdot \rho_{r,ref}}} \; \; ,der \\ &\rho_m = \frac{m}{A} \\ &\rho_{r,ref} = \frac {r_{ref}}{A^2} \end{align} [/math]


Angivelsen av kortslutningsstrømmer i Teknisk regelverk er gjort i henhold til den forenklede formelen i NEK 440 og i NEK 445.

[math] I = A \cdot K \cdot \sqrt{ \frac{ \ln{ \left( \frac{\theta_f+\beta}{\theta_i + \beta} \right) }}{t_f}} [/math]

Tabell 5: Symbolforklaring for beregning av kortslutningsstrøm etter NEK 440/NEK 445
Symbol Enhet Forklaring
I A Kortslutningsstrøm, effektivverdi
A mm2 Lederens tverrsnittsareal
tf s Varighet for kortslutning
θi °C Ledertemperatur før kortslutning
θf °C Ledertemperatur etter kortslutning
β °C Materialkonstant, angitt i NEK 440 til: 234,5 for kopper, 228 for aluminium, 202 for stål
K [math]\frac{A \cdot \sqrt{s}}{mm^2} [/math] Materialkonstant, angitt i NEK 440 til 226 for kopper, 148 for aluminium, 78 for stål

5.2 Beregningsforutsetninger

5.2.1 Kortslutningsstrømmens varighet

Kortslutningsstrømmens varighet er gitt av vern. I kontaktledningsanlegg benyttes hurtige vern som kopler ut kortslutningsstrøm fort. Generelt kan det legges til grunn en frakoplingstid for store kortslutningsstrømmer på 0,1 s. I noen tilfeller kan det gjenstå en kortslutningsstrøm i inntil 0,2 s etter dette, og for eldre anlegg enda noe lengre. Slike strømmer fører til svært liten oppvarming sammenliknet med strømmen som går de første 0,1 s. Ved utarbeidelse av kravene i Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav er det lagt til grunn at strømmen de siste 0,2 sekunder av et kortslutningsforløp er 1/3 av strømmen de første 0,1 sekunder. Dette er benyttet videre her.

5.2.2 Ledertemperatur før kortslutning

Beregningene gjøres med en ledertemperatur før kortslutning på 25 °C for ledere som normalt er ubelastet, og 70-100 °C for ledere som normalt er belastet (høyeste tillatte ledertemperatur ved normal drift).

5.3 Resultater

I Teknisk regelverk, Felles Elektro, Generelle tekniske krav er det angitt krav til dimensjonerende kortslutningsstrømmer for hele landet for termisk dimensjonering av ledere for jording og utjevning.

Følgende maksimale termiske kortslutningsstrøm er beregnet for ulike ledere:

Tabell 6: Maksimal kortslutningsstrøm for ledere som ikke fører driftsstrøm.
Maksimal kortslutningsstrøm [math] I_{th 0,3} [/math] [kA]
Ledertverrsnitt
mm2
Uisolert leder
tillatt sluttemperatur [math] \theta_f [/math] = 300 °C
Isolert leder (XLPE eller EPR/HEPR)
tillatt sluttemperatur [math] \theta_f [/math] = 250 °C
Isolert leder (PVC)
tillatt sluttemperatur [math] \theta_f [/math] = 160 °C
Cu Al Stål Cu Al Stål Cu Al Stål
50 17,54 11,59 6,34 16,30 10,78 5,91 13,35 8,84 4,86
70 24,55 16,22 8,88 22,82 15,09 8,27 18,69 12,37 6,81
95 33,32 22,02 12,05 30,97 20,48 11,23 25,37 16,79 9,24
120 - - 15,22 - - 14,18 - - 11,67
I tabellen er det forutsatt en omgivelsestemperatur på 25 °C uten soloppvarming.
For ledere som belastes med driftsstrøm, forutsettes det en ledertemperatur før kortslutning på 100 °C for uisolerte ledere,
90 °C for ledere med XLPE eller EPR/HEPR isolasjon, og 70 °C ledere med PVC isolasjon.
For ledere som belastes med driftsstrøm, reduseres maksimal kortslutningsstrøm [math] I_{th 0,3} [/math] med omtrent:
* 20 % for uisolerte ledere,
* 25 % for ledere isolert med XLPE (tverrbundet polyetylen) / EPR/HEPR (polyetylenpropylen-gummi), og
* 40 % for ledere isolert med PVC.

6 Varierende strømbelastning

Eksempel på simulering av temperaturutvikling av leder med varierende belastning.

Strømbelastning av ledere i kontaktledningsanlegg og tilknyttede anlegg karakteriseres av stor belastningsvariasjon, med kortvarig høye belastningstopper og lange perioder med lav belastning. Under slike forhold kan strømbelastningen være større enn den beregnete kontinuerlige strømføringsevnen under slike belastningstopper, uten at grenseverdien for ledertemperatur overskrides. Ved dimensjonering av elektriske jernbaneanlegg blir det, ofte på bakgrunn av trafikksimuleringer, utarbeidet en dimensjonerende strømkurve for de mest kritiske lederne. Denne strømkurven kan brukes til å beregne maksimal ledertemperatur.

Vi tar igjen utangspunkt i varmebalansen i Ligning 1, og skriver om uttrykket slik at dT/dt blir isolert på venstre side av likhetstegnet:

[math] \frac{d \mathrm{T}}{d \mathrm{t}} = \frac{1}{m \cdot c_p} \cdot \left( P_{el}+Q_{sol}-Q_{str}-Q_{konv}-Q_{kond} \right) [/math]

En numerisk beregning av ledertemperaturen innebærer at det gjennomføres en beregning av alle varmestrømmene ved en gitt tid og ledertemperatur, og ubalansen i varmestrømmene i det aktuelle tidsskrittet brukes til å beregne ledertemperaturen ved neste tidsskritt. Det finnes flere metoder for å gjøre slike beregninger, der de vanligste er listet i Tabell 7.

En implementering av Eulers metode i regneark er tilgjengelig her: Regneark for beregning av temperatur i leder med tidsvarierende strøm

Tabell 7: Integrasjonsmetoder
Metode Vurdering Lenke
Eulers metode
RK1
Den enkleste metoden
Kan enkelt implementeres i regneark
Må bruke korte tidsskritt for å begrense avrundingsfeil - erfaring tilsier at tidsskritt mindre enn ca. 15 sekunder gir tilstrekkelig nøyaktighet
Wikipedia: [Euler's method]
Heuns metode,
modifisert Eulers metode
RK2
Mer kompleks metode
Mer omfattende implementering i regneark; script er mer hensiktsmessig
Avrundingsfeilene blir mindre og metoden kan derfor brukes med større tidsskritt
Wikipedia: [Heun's method]
Runge-Kutta-metoder,
RK4
Tilgjengelig i avanserte regneverktøy, som Matlab, Scilab og Octave.
Mye mindre avrundingsfeil enn Heuns metode
Store tidsskritt kan benyttes slik at total regnetid reduseres.
Brukes der regnetiden blir stor.
Vanlig brukt i profesjonelle regneverktøy
Runge-Kutta-metoden av orden 4 (RK4) er mest vanlig
Wikipedia: [Runge-Kutta methods]

7 Vedlegg A: Mekanismer for oppvarming og avkjøling av ledere

7.1 Akkumulert varme

Akkumulert varme for en leder kan uttrykkes som:

[math] \frac{d \mathrm{E}}{d \mathrm{t}} = m \cdot c_p \cdot \frac{d \mathrm{T_{leder}}}{d \mathrm{t}} [/math]


Tabell 8: Symbolforklaring
Symbol Enhet Forklaring
m kg/m Ledermaterialets masse
cp J/(kg·K) Varmekapasitet for ledermaterialet
Tleder °C Ledertemperatur

Dette leddet blir 0 ved beregning av kontinuerlig strømføringsevne fordi temperaturen og varmeenergien i lederen er konstant. Leddet er viktig ved angivelse av overbelastningsevne, fordi det angir hvor fort temperaturen i lederen øker.

7.2 Elektrisk varme

Elektrisk tilført varme Pel er gitt av:


[math] P_{el} = r_T \cdot I^2 [/math] Ligning 13: Elektrisk varme

Tabell 9: Symbolforklaring, elektrisk oppvarming av leder
Symbol Enhet Forklaring
Pel W/m Tilført elektrisk varme
rT Ω/m Resistans ved ledertemperatur
I A Strøm i lederen

Resistansen rT endres med med ledertemperaturen. Temperaturavhengigheten for resistiviteten til et materiale er vanligvis angitt ved temperaturfaktoren for resistivitet α. Denne angivelsen er en linearisering som er gyldig for moderate temperaturvariasjoner rundt en referansetemperatur Tref. Vanlig referansetemperatur er 20 °C, og EN 50149 angir at temperaturavhengigheten til resistansen for de metaller som standarden dekker kan antas lineær for temperaturer mellom -50 °C og +100°C. Formelen kan med en noe større unøyaktighet i resultatet anvendes også utenfor det angitte temperaturintervallet.


[math] r_T = r_{ref} \cdot \left[ 1 + \alpha_{ref} \cdot \left (T_{leder}-T_{ref} \right) \right] [/math]

Tabell 10: Symbolforklaring, temperaturfaktor for resistivitet
Symbol Enhet Forklaring
rref Ω/m Resistans målt ved angitt referansetemperatur Tref
αref 1/K Temperaturfaktor for resistivitet ved angitt referansetemperatur Tref
Tref K Referansetemperatur som rref og αref er angitt ved for et ledermateriale.
Tleder K Ledertemperatur

Tabell 11 angir resistivitet og temperaturfaktor for ulike ledermaterialer.

Tabell 11: Resistivitet og temperaturavhengighet for ledermaterialer, som angitt i [2]
Material Resistivitet ρE
[Ω·mm2/m]
Temperaturkoeffisient α
[1/K·10-3]
Referansetemperatur Tref
[°C]
Kopper Cu 0,01777 3,80 20
Aluminium AL1 0,02826 4,00 20
Stål St1 0,192 4,00 20
Bronse BZII 0,02778 3,78 20
Kopper CuAg0,1 0,01777 3,80 20

7.3 Solinnstråling

Ledere som forlegges i sol tilføres strålingsvarme. Ulike materialer har ulik absorpsjonsevne for solstråling, dette hensyntas med absorpsjonskoeffisienten αs.

[math] Q_{Sol} = S_{sol} \cdot D_{leder} \cdot \alpha_{s} [/math]

Tabell 12: Symbolforklaring
Symbol Enhet Forklaring
Ssol W/m2 Dimensjonerende solvarme
αs 1 Absorpsjonskoeffisient for den aktuelle overflaten
Dleder m Ytre lederdiameter

Strålingsvarme fra solinnstråling er angitt i Lenke: Teknisk regelverk, Felles Elektro til å være:

[math] S_{sol} = 1050 \frac{W}{m^2} [/math]

Typiske absorpsjonskoeffisienter for vanlige overflater er hentet fra referanse [2]:

Tabell 13: Absorpsjonskoeffisient for vanlige overflater
Overflate Cu Aluminium Jern, stål
halvpolert 0,15 0,08 -
matt - blank 0,24 0,23 0,45 (støpejern)
oksidert, lett forurenset 0,6 0,5 -
sterkt oksidert 0,75 0,7 0,96 (støpejern)
sterkt oksidert, forurenset 0,85-0,95 0,88-0,93 -
valset - - 0,65
rustet - - 0,61-0,81

Ved Ssol = 1050 W/m2 og αs=0,6 finner man følgende verdier for varme som følge av solinnstråling.

Tabell 14: Solinnstråling
Lederverrsnitt [mm2] Solinnstråling Qsol [W/m]
50 5,0267
70 5,9476
95 6,9288

7.4 Avkjøling ved stråling

Avgitt strålingsvarme fra lederen til omgivelsene beregnes ved hjelp av Stefan-Bolzmanns lov, der det antas at

[math] Q_{str} = \pi \cdot D_{leder} \cdot \sigma \cdot (\epsilon_s \cdot T_{leder}^4 - \alpha_s \cdot T_{omg}^4) [/math]

Tabell 15: Symbolforklaring
Symbol Enhet Forklaring
Dleder m Ytre diameter for lederen
σ W/(m2 · K4) Bolzmanns konstant, σ = 5,67 · 10-8 W/(m2 · K4)
αs 1 Absorpsjonskoeffisienten til overflaten.
εs 1 Emissiviteten til overflaten. Antas å være lik absorpsjonskoeffisienten. Dette er en vanlig antakelse for ledere utendørs i luft.
Tleder K Ledertemperaturen i K
Tomg K Omgivelsestemperaturen i K

Ved dimensjonerende ledertemperatur på 100 °C, omgivelsestemperatur på 25 °C og εs = αs = 0,6, finner man:

Varmeavgivelse ved stråling>
Lederverrsnitt
[mm2]
Varmeavgivelse ved stråling
Qstr
[W/m]
50 2,4487
70 2,8973
95 3,3753
120 3,7935

7.5 Leder i jord: Konduktiv avkjøling

For en uisolert leder forlagt i jordsmonn med uniform termisk konduktivitet, angir [1] følgende likning for stasjonær konduktiv avkjøling:

[math] Q_{kond} = \frac{ 2 \cdot \pi \cdot k_{jord} \cdot (T_{leder}-T_{omg})}{\cosh^{-1}{(H_{leder} / R_{leder})}} [/math]

Tabell 17: Symbolforklaring
Symbol Enhet Forklaring
kjord W/(m·K) Termisk konduktivitet for jordsmonnet
Tleder K Ledertemperatur
Tomg K Omgivelsestemperatur
Hleder m Lederens dybde under overflaten
Rleder m Lederens ytre radius

Termisk konduktivitet for jordsmonn varierer ifølge [1] mellom 0,27 W/(m·K) for sand og over 2 W/(m·K) for ulike steinsorter. Det antas her at konduktiviteten for jernbanens underbygning vil ligge i nedre del av dette intervallet. 0,5 W/(m·K) legges til grunn.

Fordi jordsmonnet har stor varmekapasitet vil oppvarming av jordsmonnet som følge av temperaturendringer på overflaten ta lang tid, i mange tilfeller flere dager. Det kan derfor legges til grunn en gjennomsnittstemperatur over lengre tid for overflaten. IEC 60287-3-1 angir at temperatur som skal brukes i Sør-Norge er 17 °C.

Tabell 18: Konduktiv kjøling for ulike ledertverrsnitt ved termisk konduktivitet på 0,5 W/(m·K) og dybde på 0,5 m
Ledertverrsnitt [mm2] Kjøleeffekt [W/m]
50 47,2027
70 48,6855
95 50,1143
120 51,2652

7.6 Leder i luft: Konvektiv avkjøling

For en leder i luft er konveksjon den viktigste mekanismen for avkjøling, og også den som er mest utfordrende å behandle. Metodikken er beskrevet i referanse [1] og [2]. Framgangsmåten er at man for den aktuelle fysiske geometrien og fysiske egenskaper for luften rundt lederen ved aktuelt trykk, vindhastighet og temperatur, finner Nusselts tall, Nu. Nusselts tall er en eksperimentelt bestemt funksjon av materialegenskaper og tilstand for den aktuelle geometrien. Nusselts tall har en fast sammenheng med varmeavgivelsen.

[math] Q_{konv} = \pi \cdot k_{luft} \cdot Nu \cdot (T_{leder}-T_{omg}) [/math]

Tabell 19: Symbolforklaring
Symbol Enhet Forklaring
Qkonv W/m Konvektiv varmeavgivelse fra lederen
kluft W/(m·K) Termisk konduktivitet for luft
Nu 1 Nusselts tall - eksperimentelt bestemt dimensjonsløs størrelse
Tleder K Ledertemperatur
Tomg K Omgivelsestemperatur

Med beregningene av Nusselts tall som er gjennomført i neste avsnitt er det funnet følgende tallverdier for konvektiv kjøling:

Tabell 20: Konvektiv varmeavgivelse - vind 0,3 m/s
Ledertverrsnitt [mm2] Nusselts tall [1] Konvektiv kjøling Qkonv [W/m]
50 6,1258 41,7707
70 6,6723 45,4976
95 7,2186 49,2223
120 7,6722 52,3119

7.6.1 Beregning av Nusselts tall

I dette avsnittet er Nusselts tall beregnet med fri konveksjon (oppdriftseffekt) og med tvungen konveksjon (vind på tvers av lederen).

Tabell 21: Nu - beregningsforutsetninger
Symbol Enhet Verdi Tekst Kommentar
v m/s 0,3 Vindstyrke Brukes ved tvungen konveksjon
Tomg °C 25 Omgivelsestemperatur Valgt på bakgrunn av angivelse i IEC 60287-3-1 for dimensjonering av kabler i luft i Norge
Tleder °C 100 Ledertemperatur Høyeste tillatte kontinuerlige ledertemperatur

Tabell 22: Nu - Data for beregning av luftstrøm
Symbol Enhet Verdi Tekst Kommentar
g m/s2 9,81 Tyngdens akselerasjon -
Tf K 335,65 Filmtemperatur Gjennomsnittstemperaturen i luftfilmen tett inntil lederen. Tf = 0,5·(Tleder+Tomg)
βomg(Tf) K-1 0,002979 Termisk ekspansjonskoeffisient ved filmtemperatur Ved antakelse av ideell gass er dette den inverse filmtemperaturen.
k(Tf) W/(m·K) 0,02894 Termisk konduktivitet ved filmtemperatur Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
ν(Tf) m2/s 19,47·10-6 Kinematisk viskositet ved filmtemperatur Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
α (Tf) m2/s 27,78·10-6 Termisk diffusivitet ved filmtemperatur Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]
Pr (Tf) 1 0,7020 Prandtls tall ved filmtemperatur Interpolert verdi fra tabell for materialegenskaper for luft i [1]

Tabell 23: Nu beregninger for leder i luft
Symbol Enhet Verdi 50 mm2 Verdi 70 mm2 Verdi 95 mm2 Tekst Kommentar
A mm2 50 70 95 Tverrsnittsareal for leder -
D m 7,9788·10-3 9,4407·10-3 10,998·10-3 Ytre diameter for leder -
RaD 1 2058,18 3409,37 5390,30 Rayleighs tall (fri konveksjon) Beregnet etter formel angitt i [1]
NuD,fri konveksjon 1 3,0445 3,4052 3,7795 Nusselts tall (fri konveksjon) Beregnet etter formel angitt i [1]
ReD 1 122,900 145,418 169,406 Reynolds tall Beregnet etter formel i [1] for vindhastighet på 0,3 m/s og aktuell lederdiameter.
NuD,tvungen konveksjon 1 6,0301 6,5562 7,0790 Nusselts tall (tvungen konveksjon) Beregnet etter Ligning 22
NuD,komb 1 6,1258 6,6724 7,2186 Nusselts tall (kombinert tvungen og fri konveksjon) -
Qkonv W/m 41,7680 45,4945 49,2191 Konvektiv varmeavgivelse -

Formler benyttet i tabellen:

[math] Ra_D = \frac{g \cdot \beta \cdot (T_{leder}-T_{omg}) \cdot D^3}{\nu \cdot \alpha} [/math] Ligning 19: Rayleighs tall for rund leder i fri konveksjon [1]


[math] Nu_{D, \; fri \; konveksjon} = \left[ 0,60 + \frac{0,387 \cdot Ra_D^{\frac{1}{6}}}{\left[1 + (0,559/Pr)^{\frac{9}{16}} \right]^{\frac{8}{27}}} \right] [/math] Ligning 20: Nusselts tall for rund leder i fri konveksjon. Gyldig for Ra_D < 1012 [1]


[math] Re_D = \frac{v \cdot D}{\nu} [/math] Ligning 21: Reynolds tall for rund leder i luft [1]


[math] Nu_{D, \; tvungen \; konveksjon} = 0,65 \cdot Re^{0,2} + 0,23 \cdot Re^{0,61} [/math] Ligning 22: Nusselts tall i ekstern strømning som angitt i referanse [2], med henvisning til IEC 61597


Ulike kilder gir ulike formler for Nusselts tall for tvungen konveksjon. For eksempel gir referanse [1] og [2] ulike formler. Det er her valgt å bruke formelen i referanse [2] fordi denne er spesifikt rettet mot metalliske liner med kordeller opphengt i luft.

Både fri og tvungen konveksjon påvirker kjølingen. Referanse [1] beskriver at det skal beregnes et Nusselts tall for hver av disse effektene, og at de to tallene som en tilnærming kan kombineres til et felles Nusselts tall.


[math] Nu_{D, \; kombinert} = \sqrt[4]{Nu_{D, \; fri \; konveksjon}^4 + Nu_{D, \; tvungen \; konveksjon}^4} [/math] Ligning 23: Nusselts tall for kombinert kjøling fra fri og tvungen konveksjon

7.7 Anbefalte verdier for konstante ved modellering

Nominelle verdier for ledere som benyttes i kl-anlegg kan finnes i standarder og leverandørers produktdatablad. Verdier for miljøfaktorer er gitt i Teknisk regelverk, i internasjonale standarder eller litteratur. For noen verdier må antagelser gjøres. Tabellen nedenfor gir noen anbefalinger for valg av verdier. I tillegg til verdiene under bør det for kottakttråden vurderes om slitasje også skal inkluderes. Det tillates at opptil 20 % av kontakttrådens tverrsnittsareal er slitt vekk.

For kontaktledningsanlegg er det kontakttråden som normalt går i strømgrense før bæreline, derfor er det i tabellene nedenfor oppgitt verdier kun for kontakttråden.

Når det gjelder solintensitet er dette oppgitt i Teknisk regelverk, Felles elektro/Prosjektering og bygging/Generelle tekniske krav, 2.1 Klimatiske forhold.

Tabell 24: Anbefalte konstanter for omgivelser i friluft
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Vind v m/s 1 Svak vind iht. klasse SW 2 (Normal) i normen EN 50125-2. EN 50119:2009 anbefaler også dette tallet.
Omgivelsestamperetur Tomg °C 25/35 Valgt på bakgrunn av angivelse i IEC 60287-3-1 for dimensjonering av kabler i luft i Norge. Standard for kl-anlegg oppgir 35 °C.
Absorpsjonskoeffisient kontakttråd/bæreline αsklsbe - 0,85 "Sterkt oksidert, forurenset". Sterkt forurenset pga. kullstøv fra strømavtager. Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 429. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0
Absorpsjonskoeffisient AT-ledere og andre ledere α - 0,5 "Oksidert, lett forurenset". Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 429. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0

Tabell 25: Anbefalte konstanter for CuAg0,1 AC-100
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Resistans ved 20 °C r Ohm/km 0,000183 Tabell 3 i standard EN 50149
Koeffisient for temperaturavhengig resistivitet [math] \alpha_{20} [/math] 1/K 0,0038 Avsnitt 5.4 i standard EN 50149
Diameter D mm 12,00 Figur A.2 appendiks A i standard EN 50149
Masse per meter m kg/m 0,889 EN 50149 oppgir min 0,862 og max 0,916 kg/m, benytt gjennomsnitt.
Varmekapasitet c J/(kg K) 394 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 601. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0
Strømfordeling kontakttråd/bæreline (CuAg AC-100 og BzII 50) n  % 74/27 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 444. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0
Maks tillatt ledertemperatur T °C 100 Avsnitt 5.1.2 i EN 50119

Tabell 26: Anbefalte konstanter for CuAg0,1 AC-120
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Resistans ved 20 °C r Ohm/m 0,000153 Tabell 3 i standard EN 50149
Koeffisient for temperaturavhengig resistivitet [math] \alpha_{20} [/math] 1/K 0,0038 Avsnitt 5.4 i standard EN 50149
Diameter D mm 13,20 Figur A.4 appendiks A i standard EN 50149
Masse per meter m kg/m 1,067 EN 50149 appendiks C Tabell C.1 oppgir min 1,035 og max 1,099 kg/m, benytt gjennomsnitt.
Varmekapasitet c J/(kg K) 394 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 601. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0
Strømfordeling kontakttråd/bæreline (CuAg AC-120 og BzII 70) n  % 71/30 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 444. 2018, ISBN 978-3-89578-420-0
Maks tillatt ledertemperatur T °C 100 Avsnitt 5.1.2 i EN 50119

Tabell 27: Anbefalte konstanter for AT-leder 294 mm² Al (294-AL1)
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Diameter D mm 22,3 Tabell F22 i standard EN 50182
Masse per meter m kg/m 0,8104 Tabell F22 i standard EN 50182
Varmekapasitet c J/(kg K) 910 Side 50 i Standard EN 60865-1
Resistans ved 20 °C r Ohm/m 0,0000981 Tabell F22 i standard EN 50182
Koeffisient for temperaturavhengig resistivitet [math] \alpha_{20} [/math] 1/K 0,00381 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 116. 2009, ISBN 978-3-89578-322-7
Maks tillatt ledertemperatur T °C 80 Tabell 1 i standard EN 50119

Tabell 28: Anbefalte konstanter for AT-leder 381 mm² Al (381-AL1)
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Diameter D mm 25,3 Tabell F22 i standard EN 50182
Masse per meter m kg/m 1,0502 Tabell F22 i standard EN 50182
Varmekapasitet c J/(kg K) 910 Side 50 i Standard EN 60865-1
Resistans ved 20 °C r Ohm/m 0,0000757 Tabell F22 i standard EN 50182
Koeffisient for temperaturavhengig resistivitet [math] \alpha_{20} [/math] 1/K 0,00381 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 116. 2009, ISBN 978-3-89578-322-7
Maks tillatt ledertemperatur T °C 80 Tabell 1 i standard EN 50119

Tabell 29: Anbefalte konstanter for AT-leder 400 mm² Al (400-AL1)
Parameter Symbol Enhet Verdi Forklaring
Diameter D mm 26,0 Tabell F17 i standard EN 50182
Masse per meter m kg/m 1,1071 Tabell F17 i standard EN 50182
Varmekapasitet c J/(kg K) 910 Side 50 i Standard EN 60865-1
Resistans ved 20 °C r Ohm/m 0,0000723 Tabell F17 i standard EN 50182
Koeffisient for temperaturavhengig resistivitet [math] \alpha_{20} [/math] 1/K 0,00381 Kiessling, Puschmann, Schmieder og Schneider: Contact Lines for Electric Railways s. 116. 2009, ISBN 978-3-89578-322-7
Maks tillatt ledertemperatur T °C 80 Tabell 1 i standard EN 50119

8 Referanser

[1] - Incorpera og DeWitt: Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Fifth edition, Wiley, 2002. ISBN 0-471-38650-2
[2] - Kießling, Puschmann, Schmieder: Fahrleitungen elektrischer Bahnen - Planung, Berechnung, Ausführung, Betrieb, 3. Auflage, Publicis Publishing, 2014. ISBN 978-3-89578-407-1