Elektrisk systembeskrivelse av kontaktledningsanlegg ver01

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

Kontaktledningsanlegget overfører effekt mellom matestasjonen og traksjonsmateriell og andre belastninger tilknyttet kontaktledningen. I eldre anlegg skjer overføringen i kontaktledning ved 15 kV nominell spenning, med retur i kjøreskinner ved 0 kV. I nyere anlegg er det innført returledere eller AT-system med positivleder og negativleder. Følgende ledere er vanlige i et kontaktledningsanlegg. Det kan finnes ytterligere ledere parallelt med jernbanetraseen som påvirker eller påvirkes av kontaktledningsanlegget.

<figtable id="tab:Ledere_oversikt">

Ledere oversikt

Leder	Forklaring	Nominell spenning
KL	Kontaktledningsanlegg, omfatter kontakttråd og bæreline	15 kV
RR	Kjøreskinner	0 kV
RL	Returleder	0 kV
FSL	Forsterkningsleder	15 kV
PL	Positivleder (for AT-system)	normalt + 15 kV
NL	Negativleder (for AT-system)	normalt - 15 kV

</figtable>

I dette kapittelet vil det bli beskrevet en matematisk modell som beregner hvordan strøm og spenning fordeler seg mellom ulike ledere i et slikt flerledersystem som et kontaktledningsanlegg utgjør. Denne modellen er det teoretiske grunnlaget for beregning av:

• impedansen mellom matestasjon og belastning i kontaktledningssystemet,
• potensial i returkretsen,
• indusert spenning i ledere som går parallelt med jernbanetraseen,
• belastning på enkeltledere og komponenter i kontaktledningsnettet.

I praktisk bruk er regnemodellen programmert inn i et regneprogram der numeriske parametre for beregningen angis og resultatet presenteres i form av grafer og tabeller.

Lineær modell

Et kontaktledningsanlegg har en tilnærmet lineær oppførsel og kan derfor for mange formål modelleres lineært. Den enkleste måten å etablere en lineær modell av kontaktledningen på, er ved hjelp av en admittansmatrise. Admittansmatrisen angir en lineær sammenheng mellom strømmen som påtrykkes alle systemets tilkoplingspunkter, som funksjon av spenningen ved hver enkelt node. Både strømmen og spenningen er viserverdier. Skrevet på kompakt matriseform:

$\mathbf {I} =\mathbf {Y} cdot\mathbf {U}$

Forhold som ikke er lineære, og som derfor tilnærmes i en slik modell, er:

• magnetiske egenskaper for stålskinner, som gjør stålets indre reaktans ulineært avhengig av strøm og frekvens, og
• strømfortrengning i ledere, som gjør den elektriske motstanden i en leder ulineært avhengig av frekvens.

Enkel transmisjonslinje

Introduksjon

Den enkleste formen for problemet er ei enkelt linjesløyfe. Det finnes mye teori som beskriver problemet, og problemet har kjent analytisk løsning. Det tas i avsnittet en rask gjennomgang av den grunnleggende teorien, fordi den samme framgangsmåten benyttes for analyse av et flerledersystem.

Telegraflikningene

En kontaktledning med retur i kjøreskinner kan forenklet betraktes på denne måten, hvis man ser bort fra lekkasje til jordsmonn. Telegraflikningen tar utgangspunkt i et svært kort linjesegment $\mathrm {d} x$ av linjesløyfa. Linjesegmentet har en seriell resistans $R\cdot \mathrm {d} x$ og reaktans $X\cdot \mathrm {d} x=\omega \cdot L\cdot \mathrm {d} x$, og en parallell konduktans $G\cdot \mathrm {d} x$ og susceptans $B\cdot \mathrm {d} x=\omega \cdot C\cdot \mathrm {d} x$. Her er L, C og $\omega$ henholdsvis linjens induktans, kapasitans og vinkelfrekvens.

<figure id="fig:Telegraflikningene">

Telegraflikningene - Kretsskjema for et linjesegment dx </figure> Parametrene kan skrives om om slik at impedansen blir $Z=R+jX$ og admittansen blir $Y=G+jB$ Det serielle spenningsfallet dU over dette linjesegmentet er gitt av Ohms lov: (i) ${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} x}}=-Z\cdot I$ Strømmen som lekker gjennom admittansen $Y$ utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen: (ii) ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-Y\cdot U$ Likningene (i) og (ii) danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes med matriserepresentasjon på følgende måte: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\begin{pmatrix}U\\I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-Z\\-Y&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}U\\I\end{pmatrix}}=\mathbf {A} \cdot {\begin{pmatrix}U\\I\end{pmatrix}}$ Her har systemmatrisen A dimensjonene (2 x 2). Løsningen på et slikt likningssett er beskrivet i flere lærebøker i lineæralgebra, for eksempel i Referanse [1]. En rask innføring er gitt i Wikipedia. Egenverdiene $\lambda$ til systemet er: $\lambda _{1}=+{\sqrt {Z\cdot Y}}=\gamma$ $\lambda _{2}=-{\sqrt {Z\cdot Y}}=-\gamma$ der $\gamma ={\sqrt {Z\cdot Y}}$ er linjens forplantningskonstant. De tilhørende egenvektorene kan finnes til å være: $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}1\\-{\sqrt {\tfrac {Y}{Z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-{\tfrac {1}{Z_{0}}}\end{pmatrix}}$ $\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {\tfrac {Y}{Z}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{\tfrac {1}{Z_{0}}}\end{pmatrix}}$ der $Z_{0}={\sqrt {\tfrac {Z}{Y}}}$ er linjens karakteristiske impedans. Forplantningskonstanten $\gamma$ er en kompleks størrelse og et mål på hvordan en strøm/spenning dempes og forandrer fase langs en transmisjonslinje. Den karakteristiske impedansen $Z_{0}$ er et mål på sammenhengen mellom strøm og spenning i en transmisjonslinje. Egenvektorene $\mathbf {v_{1}}$ og $\mathbf {v_{1}}$ ordnes så i en egenvektormatrise $\mathbf {V}$: $\mathbf {V} ={\begin{pmatrix}\mathbf {v_{1}} &\mathbf {v_{2}} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\-{\tfrac {1}{Z_{0}}}&{\tfrac {1}{Z_{0}}}\end{pmatrix}}$ Egenvektormatrisen $\mathbf {V}$ har følgende inverse: $\mathbf {V^{-1}} ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-Z_{0}\\1&Z_{0}\end{pmatrix}}$ Løsningen er gitt av følgende uttrykk: ${\begin{pmatrix}U\\I\end{pmatrix}}(x)=\mathbf {V} \cdot e^{\mathbf {\Lambda } x}\cdot \mathbf {V^{-1}} \cdot {\begin{pmatrix}U_{0}\\I_{0}\end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi } (x)\cdot {\begin{pmatrix}U_{0}\\I_{0}\end{pmatrix}}$ der:
$U_{0}$ og $I_{0}$ er strøm og spenning ved posisjonen $x=0$,
$e^{\mathbf {\Lambda } x}$ er en diagonal 2x2-matrise med diagonale elementer $e^{\gamma x}$ og $e^{-\gamma x}$ , og
$\mathbf {\Phi } (x)$ er den resulterende løsningsmatrisen. Skrevet fullt ut er løsningsmatrisen: $\mathbf {\Phi } (x)={\begin{pmatrix}\cosh {(\gamma x)}&-Z_{0}\sinh {\gamma x}\\-{\tfrac {1}{Z_{0}}}\sinh {(\gamma x)}&\cosh {(\gamma x)}\end{pmatrix}}$ Løsningen gir en komplett beskrivelse av strøm og spenning i alle punkter langs en transmisjonslinje, dersom strømmen og spenningen ved posisjon $x=0$ er kjent. <figure id="fig:Admittansbeskrivelse_2porter">

Et linjesegment med lengde $l$ har lineære karakteristikker og kan beskrives komplett ved en 2x2 løsningsmatrise $\mathbf {\Phi _{l}}$ eller admittansmatrise $\mathbf {Y_{l}}$ </figure> For en linje av lengde $l$ som vist i <xr id="fig:Admittansbeskrivelse_2porter" /> mellom punktene $R$ og $S$ kan man finne sammenhengen mellom strøm og spenning ved de to linjeendene ved: ${\begin{pmatrix}U_{S}\\-I_{S}\end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi } (l)\cdot {\begin{pmatrix}U_{R}\\I_{R}\end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi _{l}} \cdot {\begin{pmatrix}U_{R}\\I_{R}\end{pmatrix}}$ der $U_{S}=U(0),\;U_{R}=U(l),\;I_{S}=I(0),\;I_{R}=-I(l)$. Grunnen til det negative fortegnet for $I_{R}$ er at vi nå definerer strømmen som positiv inn i linja ved begge linjeender. Man vil i mange tilfeller kjenne spenningen ved de to linjeendene, og ønske å beregne strømmen. Da kan likningssettet skrives om på admittansmatriseform slik at: ${\begin{pmatrix}I_{R}\\I_{S}\end{pmatrix}}=\mathbf {Y_{l}} \cdot {\begin{pmatrix}U_{R}\\U_{S}\end{pmatrix}}$ Man kan finne at matrisen $\mathbf {Y_{l}}$ er: $\mathbf {Y_{l}} ={\frac {1}{Z_{0}\sinh {(\gamma l)}}}{\begin{pmatrix}\cosh {(\gamma l)}&-1\\-1&\cosh {(\gamma l)}\end{pmatrix}}$ Denne admittansmatrisen for en transmisjonslinje av lengde $l$ utgjør en komplett beskrivelse av transmisjonslinjas lineære elektriske egenskaper.

Transmisjonslinje med flere parallelle ledere

Ved flere parallelle ledere vil det i tillegg til resistans og selvinduktans for hver enkelt leder også være en gjensidig induktans mellom hver enkelt leder. Den gjensidige induktansen gir et tillegg til spenningen over en leder som følge av strømmen i hver av de andre lederne. For et system med n (1, 2, ... n) ledere kan dette beskrives med matriser på følgende måte:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\begin{pmatrix}U_{1}\\\vdots \\U_{n}\end{pmatrix}}=-\left[{\begin{pmatrix}R_{11}&\cdots &R_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\R_{n1}&\cdots &R_{nn}\end{pmatrix}}+j\cdot {\begin{pmatrix}X_{11}&\cdots &X_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\X_{n1}&\cdots &X_{nn}\end{pmatrix}}\right]\cdot {\begin{pmatrix}I_{1}\\\vdots \\I_{n}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}Z_{11}&\cdots &Z_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\Z_{n1}&\cdots &Z_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{1}\\\vdots \\I_{n}\end{pmatrix}}$

På tilsvarende måte kan det være en konduktiv eller kapasitiv lekkasje mellom hver leder i et ledningssystem. Dette kan beskrives på matriseform på følgende måte for de samme lederne:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\begin{pmatrix}I_{1}\\\vdots \\I_{n}\end{pmatrix}}=-\left[{\begin{pmatrix}G_{11}&\cdots &G_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\G_{n1}&\cdots &G_{nn}\end{pmatrix}}+j\cdot {\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots &B_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&\cdots &B_{nn}\end{pmatrix}}\right]\cdot {\begin{pmatrix}U_{1}\\\vdots \\U_{n}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}Y_{11}&\cdots &Y_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&\cdots &Y_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}U_{1}\\\vdots \\U_{n}\end{pmatrix}}$

På kompakt matriseform kan dette skrives:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\begin{pmatrix}\mathbf {U} \\\mathbf {I} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {-Z} \\\mathbf {-Y} &\mathbf {0} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U} \\\mathbf {I} \end{pmatrix}}=\mathbf {A} \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U} \\\mathbf {I} \end{pmatrix}}$

Her er systemmatrisen $\mathbf {A}$ en matrise med dimensjoner (2n x 2n). Parametermatrisene $\mathbf {R}$, $\mathbf {X}$, $\mathbf {G}$ og $\mathbf {B}$ er bestemt ut ifra benyttede ledermaterialer, isolasjonsmaterialer, jordsmonn, systemets geometri og driftsfrekvens.

Systemet har 2n egenverdier $\lambda _{i}$ med 2n tilhørende egenvektorer $\mathbf {v_{i}}$. Disse må finnes numerisk av datamaskiner for aktuelle parametermatriser. Systemets løsning blir på formen:

${\begin{pmatrix}\mathbf {U} \\\mathbf {I} \end{pmatrix}}(x)=\mathbf {V} \cdot e^{\mathbf {\Lambda } x}\cdot \mathbf {V^{-1}} \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{0}} \\\mathbf {I_{0}} \end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi } (x)\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{0}} \\\mathbf {I_{0}} \end{pmatrix}}$

der:
$\mathbf {U_{0}}$ og $\mathbf {I_{0}}$ er strøm og spenning ved posisjonen $x=0$,
$e^{\mathbf {\Lambda } x}$ er en diagonal (2n x 2n)-matrise med diagonale elementer $e^{\lambda _{i}x}$,
$\mathbf {V}$ er (2n x 2n) egenvektormatrisen der kolonne nr. i er egenvektoren $\mathbf {v_{i}}$ til egenverdien $\lambda _{i}$ , og
$\mathbf {\Phi } (x)$ er den resulterende løsningsmatrisen med dimensjoner (2n x 2n).

<figure id="fig:Admittansbeskrivelse_nlinjer">

Et linjesegment med lengde $l$ har lineære karakteristikker og kan beskrives komplett ved en 2nx2n løsningsmatrise $\mathbf {\Phi _{l}}$ eller admittansmatrise $\mathbf {Y_{l}}$ </figure> På samme måte som for den enkle linjesløyfa kan man for en linje med lengde $l$ som vist i <xr id="fig:Admittansbeskrivelse_nlinjer" /> mellom nodene $R$ og $S$ finne sammenhengen mellom strøm og spenning ved de to linjeendende ved: ${\begin{pmatrix}\mathbf {U_{S}} \\-\mathbf {I_{S}} \end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi } (l)\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{R}} \\\mathbf {I_{R}} \end{pmatrix}}=\mathbf {\Phi _{l}} \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{R}} \\\mathbf {I_{R}} \end{pmatrix}}$ For å finne admittansmatrisebeskrivelsen deles løsningsmatrisen $\mathbf {\Phi _{l}}$ inn i fire (n x n) submatriser på følgende måte: ${\begin{pmatrix}\mathbf {U_{S}} \\-\mathbf {I_{S}} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {\Phi _{l,11}} &\mathbf {\Phi _{l,12}} \\\mathbf {\Phi _{l,21}} &\mathbf {\Phi _{l,22}} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{R}} \\\mathbf {I_{R}} \end{pmatrix}}$ En kan da finne at beskrivelsen på admittansmatriseform $\mathbf {Y_{l}}$ blir: ${\begin{pmatrix}\mathbf {I_{R}} \\\mathbf {I_{S}} \end{pmatrix}}=\mathbf {Y_{l}} \cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{R}} \\\mathbf {U_{S}} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {Y_{l,11}} &\mathbf {Y_{l,12}} \\\mathbf {Y_{l,21}} &\mathbf {Y_{l,22}} \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\mathbf {U_{R}} \\\mathbf {U_{S}} \end{pmatrix}}$ der ${\begin{aligned}\mathbf {Y_{l,11}} &=-\mathbf {\Phi _{l,12}^{-1}} \cdot \mathbf {\Phi _{l,11}} \\\mathbf {Y_{l,12}} &=\mathbf {\Phi _{l,12}^{-1}} \\\mathbf {Y_{l,21}} &=\mathbf {\Phi _{l,22}} \cdot \mathbf {\Phi _{l,12}^{-1}} \cdot \mathbf {\Phi _{l,11}} -\mathbf {\Phi _{l,21}} \\\mathbf {Y_{l,22}} &=-\mathbf {\Phi _{l,22}} \cdot \mathbf {\Phi _{l,12}^{-1}} \end{aligned}}$

Referanser

[1] Edwards, Penney: Elementary Linear Algebra, Pearson, 1987. ISBN 9780132582605.