Elektrisk systembeskrivelse av kontaktledningsanlegg ver01: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til navigering Hopp til søk
Linje 60: Linje 60:
Strømmen som lekker gjennom admittansen <math>Y</math> utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen:
Strømmen som lekker gjennom admittansen <math>Y</math> utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen:


''(ii)'' <math> \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = - G \cdot U </math>
''(ii)'' <math> \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = - Y \cdot U </math>


Likningene ''(i)'' og ''(ii)'' danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes med matriserepresentasjon på følgende måte:
Likningene ''(i)'' og ''(ii)'' danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes med matriserepresentasjon på følgende måte:


<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -Z \\ -G & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} </math>
<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -Z \\ -Y & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} U \\ I \end{pmatrix} </math>


Løsningen på et slikt likningssett er beskrivet i flere lærebøker i lineæralgebra, for eksempel i Referanse [1]. En rask innføring er gitt i [https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation Wikipedia].
Løsningen på et slikt likningssett er beskrivet i flere lærebøker i lineæralgebra, for eksempel i Referanse [1]. En rask innføring er gitt i [https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation Wikipedia].


Egenverdiene <math> \gamma_i </math>til systemet kan finnes ved
Egenverdiene <math> \gamma </math> til systemet kan finnes ved




<math>  \begin{vmatrix} - \gamma & -Z \\ -G & - \gamma \end{vmatrix} = 0 </math>
<math>  \begin{vmatrix} - \gamma & -Z \\ -Y & - \gamma \end{vmatrix} = 0 </math>
 
dermed:
 
<math> \gamma = sqrt{Z \cdot Y} </math>


= Referanser =
= Referanser =

Sideversjonen fra 1. feb. 2017 kl. 22:29

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

Kontaktledningsanlegget overfører effekt mellom matestasjonen og traksjonsmateriell og andre belastninger tilknyttet kontaktledningen. I eldre anlegg skjer overføringen i kontaktledning ved 15 kV nominell spenning, med retur i kjøreskinner ved 0 kV. I nyere anlegg er det innført returledere eller AT-system med positivleder og negativleder. Følgende ledere vil bli omtalt videre i dette kapittelet:

<figtable id="tab:Ledere_oversikt">

Ledere oversikt
Leder Forklaring Nominell spenning
KL Kontaktledningsanlegg, omfatter kontakttråd og bæreline 15 kV
RR Kjøreskinner 0 kV
RL Returleder 0 kV
FSL Forsterkningsleder 15 kV
PL Positivleder (for AT-system) normalt + 15 kV
NL Negativleder (for AT-system) normalt - 15 kV

</figtable>

I dette kapittelet vil det bli beskrevet en matematisk modell som beskriver hvordan strøm og spenning fordeler seg mellom ulike ledere i et slikt flerledersystem som et kontaktledningsanlegg utgjør. En slik modell kan brukes til å beregne:

  • impedansen mellom matestasjon og belastning i kontaktledningssystemet,
  • potensial i returkretsen,
  • indusert spenning i ledere som går parallelt med jernbanetraseen,
  • belastning på enkeltledere og komponenter i kontaktledningsnettet.

Introduksjon: Enkel transmisjonslinje

Telegraflikningene

Den enkleste formen for problemet er ei enkelt linjesløyfe. En kontaktledning med retur i kjøreskinner kan forenklet betraktes på denne måten, hvis man ser bort fra lekkasje til jordsmonn. Telegraflikningen tar utgangspunkt i et svært kort linjesegment dx av linjesløyfa. Linjesegmentet har en seriell resistans R · dx og reaktans X · dx, og en parallell konduktans G · dx og susceptans B · dx.

<figure id="fig:Telegraflikningene">

Telegraflikningen.png

Telegraflikningene: Kretsskjema for et linjesegment dx </figure> Parametrene kan skrives om om slik at impedansen blir og admittansen blir Det serielle spenningsfallet dU over dette linjesegmentet er gitt av Ohms lov: (i) Strømmen som lekker gjennom admittansen utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen: (ii) Likningene (i) og (ii) danner et koplet likningssett som i litteraturen kalles for telegraflikningene. Likningssettet kan ordnes med matriserepresentasjon på følgende måte: Løsningen på et slikt likningssett er beskrivet i flere lærebøker i lineæralgebra, for eksempel i Referanse [1]. En rask innføring er gitt i Wikipedia. Egenverdiene til systemet kan finnes ved dermed:

Referanser

[1] Edwards, Penney: Elementary Linear Algebra, Pearson, 1987. ISBN 9780132582605.

Admittanser

Admittansen