Elektrisk systembeskrivelse av kontaktledningsanlegg ver01: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Lærebøker i jernbaneteknikk
Hopp til navigering Hopp til søk
Linje 81: Linje 81:
''(iii)'' <math> \frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{d}x^2} = Y \cdot Z \cdot I </math>
''(iii)'' <math> \frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{d}x^2} = Y \cdot Z \cdot I </math>


Løsningen på en slik andre ordens differensiallikning finnes ved å anta at strømmen I har formen:
Løsningen på en slik andre ordens differensiallikning finnes ved å anta at strømmen I og spenningen U har formen:


''(iv)'' <math> I = I_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
''(iv-a)'' <math> I = I_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
''(iv-b)'' <math> U = U_0 \cdot e^{\gamma x} </math>


Ved å dobbeltderivere ''(iv)'' og sette inn i ''(iii)'' finner man:
Ved å dobbeltderivere ''(iv-a)'' og sette inn i ''(iii)'' finner man:


''(iii)'' <math> I_0 \cdot \gamma^2 \cdot e^{\gamma x} = Y \cdot Z \cdot I_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
''(iii)'' <math> I_0 \cdot \gamma^2 \cdot e^{\gamma x} = Y \cdot Z \cdot I_0 \cdot e^{\gamma x} </math>
Linje 93: Linje 94:
''(v)'' <math> \gamma = \pm \sqrt{Y \cdot Z} </math>
''(v)'' <math> \gamma = \pm \sqrt{Y \cdot Z} </math>


Ved å derivere ''(iv)'' og sette uttrykket inn i ''(ii)'' finner man:
Ved å derivere ''(iv-a)'' og sette uttrykket inn i ''(ii)'' finner man:


''(vi)'' <math> I_0 \cdot \gamma \cdot e^{\gamma x} = - \left( Y \right) \cdot U </math>
''(vi)'' <math> I_0 \cdot \gamma \cdot e^{\gamma x} = - \left( Y \right) \cdot U </math>

Sideversjonen fra 30. jan. 2017 kl. 15:20

__NUMBEREDHEADINGS__

Generelt

Kontaktledningsanlegget overfører effekt mellom matestasjonen og traksjonsmateriell og andre belastninger tilknyttet kontaktledningen. I eldre anlegg skjer overføringen i kontaktledning ved 15 kV nominell spenning, med retur i kjøreskinner ved 0 kV. I nyere anlegg er det innført returledere eller AT-system med positivleder og negativleder. Følgende ledere vil bli omtalt videre i dette kapittelet:

<figtable id="tab:Ledere_oversikt">

Ledere oversikt
Leder Forklaring Nominell spenning
KL Kontaktledningsanlegg, omfatter kontakttråd og bæreline 15 kV
RR Kjøreskinner 0 kV
RL Returleder 0 kV
FSL Forsterkningsleder 15 kV
PL Positivleder (for AT-system) normalt + 15 kV
NL Negativleder (for AT-system) normalt - 15 kV

</figtable>

I dette kapittelet vil det bli beskrevet en matematisk modell som beskriver hvordan strøm og spenning fordeler seg mellom ulike ledere i et slikt flerledersystem som et kontaktledningsanlegg utgjør. En slik modell kan brukes til å beregne:

  • impedansen mellom matestasjon og belastning i kontaktledningssystemet,
  • potensial i returkretsen,
  • indusert spenning i ledere som går parallelt med jernbanetraseen,
  • belastning på enkeltledere og komponenter i kontaktledningsnettet.

Introduksjon: Telegraflikningene

Den enkleste formen for problemet er ei enkelt linjesløyfe. En kontaktledning med retur i kjøreskinner kan forenklet betraktes på denne måten, hvis man ser bort fra lekkasje til jordsmonn. Telegraflikningen tar utgangspunkt i et svært kort linjesegment dx av linjesløyfa. Linjesegmentet har en seriell resistans R · dx og reaktans X · dx, og en parallell konduktans G · dx og susceptans B · dx.

<figure id="fig:Telegraflikningene">

Telegraflikningen.png

Telegrafilikningen: Kretsskjema for et linjesegment dx </figure> Det serielle spenningsfallet dU over dette linjesegmentet er gitt av Ohms lov: <equation id="eqn:Telegrafilikningene - spenningsfall"> </equation> Strømmen som lekker gjennom admittansen (konduktansen G og susceptansen B) utgjør forskjellen i strøm over linjesegmentet. Denne strømmen er proporsjonal med spenningen ved det aktuelle linjesegmentet: <equation id="eqn:Telegrafilikningen - endring i strom"> </equation> Omskrevet og ordnet blir dette et koplet likningssett, som i litteraturen kalles for telegraflikningen. (i)
(ii) Her er parametrene skrevet om slik at impedansen blir og admittansen blir Likningssettet kan løses for en lang linje ved å derivere (ii) og sette inn resultatet i (i) (ii) (ii) Setter inn i (i) og skriver om: (iii) Løsningen på en slik andre ordens differensiallikning finnes ved å anta at strømmen I og spenningen U har formen: (iv-a) (iv-b) Ved å dobbeltderivere (iv-a) og sette inn i (iii) finner man: (iii) Man ordner (iii) og finner: (v) Ved å derivere (iv-a) og sette uttrykket inn i (ii) finner man: (vi) Uttrykket kan så ordnes: (vi)