Vis kilden til Samvirke mellom rullende materiell og spor

__NUMBEREDHEADINGS__

Lenke til PDF-filen: [http://www.jernbanekompetanse.no/w/images/b/ba/L5320201.pdf Samvirke mellom rullende materiell og spor]

== INNLEDNING ==

Studiet av de dynamiske bevegelser til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor er meget komplisert. Dette har sammenheng med de dynamiske belastninger som hjulsettet utsettes for når det beveger seg på skinnegangen. Men bevegelsen til det rullende materiell følger allikevel grunnleggende dynamiske prinsipper. Dette gjelder både vertikalt og lateralt samt rulling.



Temaet samvirke rullende materiell/bane er delt inn i to kapitler. Denne første delen omhandler vognens bevegelser på sporet, herunder konisitet og vogndynamikk. Forhold knyttet til adhesjonsegenskaper og kryp er beskrevet i del 2.



Et spor blir aldri helt perfekt. Ved meget lange bølgelengder vil den geometriske linjeføringen mht. sporet lateralt og vertikalt samt i lengderetning påvirke bevegelsene til vogn og boggi . Ved korte bølgelengder vil uregelmessigheter i skinnene føre til urolige bevegelser. Riktig konstruksjon og oppbygging av sporet og underbygningen samt definert og planlagt vedlikehold vil redusere amplitudene på sporfeilene.



Det er gjennom lang tid observert at amplituden for ulike sporfeil er en funksjon av bølgelengder. Jo større bølgelengden er, jo større er vanligvis amplituden i sporfeilen. Dette er illustrert i figur 2.1 En sporfeil av type A vil oppstå langt oftere enn en sporfeil av type B for samme bølgelengde. Videre vil en sporfeil av type C med større amplitude ved lang bølgelengde oppstå like lett som en sporfeil av type A ved kort bølgelengde. Som en første tilnærming kan gjøres den antakelse at størrelsen på amplituden til en sporfeil er en funksjon av sporets bølgelengde.




[[Fil:fig532-201.png|400px|thumb||center|<caption>Figur 1 Kvantifisering av ulike sporfeil (amplituder) som funksjon av bølgelengder.</caption>]]

== SAMVIRKE RULLENDE MATERIELL/BANE ==

Samvirke mellom det rullende materiell og bane er et meget vidt begrep, men
skal i det etterfølgende begrenses til det som kalles gangdynamikkeller
gangegenskaper.


Dette omfatter:

*  Bevegelser av det rullende materiell på skinnebundet spor
*   Krefter mellom rullende materiell og spor (sporkrefter)


Følgende hendelser kan relateres til ovenstående:

*  Avsporinger
*  Slitasjeav f.eks. hjul og skinner
*  Komfortfor de reisende


Følgende aspekter er relatert til gangdynamiske prinsipper:

*   Sikkerhetsom en funksjon av hastighetog sporstandard
*   Tillatt lastkapasitettil det rullende materiell som funksjon av påkjenninger på sporet
*   Togets tillatte hastighetpå grunn av sporgeometrisk linjeføring
*   Passasjerenes opplevelser av reisen samt risiko for forskyvning av lasten og dermed skader på gods
*   Vedlikeholdskostnader på det rullende materiell og på sporet


Kjøreegenskapene til det rullende materiell har stor betydning for:

*  Sikkerhet
*   Komfortog skader på gods
*   Økonomi


Gjeldende utviklingstendenser er framføring av tog med tyngre laster og med
større hastigheter. Disse aspektene er i høy grad avhengig av god
kjøredynamikk.


I forbindelse med kjøreegenskapene til det rullende materiell på skinnebundet
spor skal det beskrives noen grunnleggende begreper:

*  Statisk tilstandinntreffer når det rullende materiell står stille på et perfekt spor.
*  Kvasistatisk tilstander den tilstand som opptrer når det rullende materiell framføres med konstant hastighetpå et perfekt spor. Det forutsettes atdette sporet har konstant kurveradiusmed konstant overhøyde. Videre eksisterer det konstante friksjonsforhold mellom hjul og skinne. Dette medfører at alle krefter eller forskyvninger i det rullende materiell og mellom det rullende materiell og sporet er konstant hele tiden.
*  Dynamisk tilstand definerer de bevegelser og tilleggskreftersom det rullende materiell utøver på grunn av sporfeil, endring av opprinnelig sporgeometri, endring av hastighetog friksjoni sporet. Selvgenererende bevegelser som f.eks. sinusforløpog ustabilt løpinngår i begrepe


 
=== Vognenes vibrasjonsmønster ===

I dette avsnittet skal det gis en beskrivelse av bevegelsene til det rullende
materiell.

Det er 6 mulige bevegelser for alle komponenter til det rullende materiell ved framføring på et skinnegående spor. Dette gjelder for selve vognkassen, boggirammenog hjulsettet. Bevegelsene er vist samlet i figur 2.2.


{| class="wikitable"
|-
! Bevegelser !! !! Engelsk betegnelse  !! Norsk betegnelse
|-
| Translasjonsbevegelse i kjøreretningen (X -retning)|| Langsgående bevegelse eller longitudinell bevegelse|| X Longitudinal|| Rykk i kjøreretningen
|-
|Translasjonsbevegelse i tverretningen (Y -retning)|| Sidebevegelse eller lateral bevegelse|| Y Lateral|| Sidesleng
|-
| Translasjonsbevegelse vinkel rett mot sporplanet|| Vertikalbevegelse|| Z Vertical, bounce|| Hopping
|-
| Rotasjons -bevegelse i et plan tvers på lengderetninge)|| Vognbevegelse || φ Roll, sway|| Rulling
|-
| Rotasjons bevegelse i et langsgående vertikalplan|| ||χ Pitch|| Galoppering elle 
vipping
|-
| Rotasjons - bevegelse i selve sporplanet || || ψ Yaw|| Svingning
|-
|}


Langsgående bevegelser eller rykkav vognene har sammenheng med
stivhetsparametre i forbindelse med buffere i en togformasjon.




[[Fil:Image3.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.2 Frihetsgrader mht. bevegelser til en jernbanevogn og vognens
hovedkomponenter </caption>]]






Jernbanevogner er vanligvis symmetriske om den vertikale akse. Dette er
illustrert i figur  2.3. Vertikale ujevnheter i sporet kan antas å påvirke vognens
bevegelser symmetrisk om denne aksen.




[[Fil:Image4.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.2 Frihetsgrader mht. bevegelser til en jernbanevogn og vognens
hovedkomponenter </caption>]]





Bevegelser mht. hoppingog galopperinger overveiende uavhengige av
laterale ujevnheter i sporet og rulling. Hopping og galoppering opptrer derim
i spor med ujevnheter i vertikal retning og er illustrert i figurene 2.4 og 2.5.





[[Fil:Image5.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.4 Illustrasjon mht. hopping av vogn. </caption>]]








[[Fil:Image6.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.5 Eksempel på galoppering av vogn. </caption>]]





På grunn av jernbanevognenes konstruksjon er vognmateriellet ikke
symmetrisk om noen lateral akse. Lateral bevegelse og rulling vil derfor
oppstå samtidig. Disse 2 sammenkoblede bevegelsene kan beskrives som
øvre rulling og nedre rulling. Bevegelsene er vist i figurene 2.6 og 2.7.


[[Fil:Image7.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.6 Eksempel på øvre rulling av vognmateriellet </caption>]]





[[Fil:Image8.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.7 Eksempel på nedre rulling av vognmateriellet
 </caption>]]





Ved nedre rulling har rotasjonssenteret et lavt nivå, mens for øvre rulling ligger
rotasjonssenteret høyere oppe. Frekvensen for den øvre liggende rulling vil
vanligvis være høyere enn for den lavere liggende rulling.

Svingningsmønsteret (yaw) er vist i figur 2.8




[[Fil:Image9.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.8 Svingningsmønsteret for en vogn </caption>]]






Typiske frekvensområder for ulike bevegelser er:

*   Lavere rulling: 0,6 Hz
*   Svingning: 0,9 Hz
*  Hopping: 1,0 Hz
*   Galoppering: 1,4 Hz
* Øvre rulling: 1,6 Hz

Reaksjonsmønsteret til en virkelig vogn er meget komplekst. Dette gjelder
også når vognen framføres på et idealisert spor. Denne kompleksiteten er
sammensatt av et antall av fysiske effekter. Det er nødvendig å beskrive
samspillet av disse fysiske effektene for å få innsikt i forståelsen av hvordan
vognen oppfører seg i et spor.

== VOGN I FJÆR/DEMPER-SYSTEM ==





I det foregående avsnittet er bevegelsene til det rullende materiell beskrevet
og illustrert. I dette avsnittet skal bevegelsene uttrykkes matematisk. Dette er
særlig tilfelle for den vertikale bevegelse.


=== Masse med et enkelt fjær/demper-system ===


En masse som sitter på et fjæropplegg, har et system med en frihetsgrad.
Bevegelsen til massen vil bli påvirket av vertikale ujevnheter i sporet. Dette er
vist i figur 2.9.



[[Fil:Image10.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.9 Masse med et enkelt fjæropplegg og dempe </caption>]]







Denne massen vil utøve resonansved en naturlig frekvens som er gitt ved
formelen:





{|width="100%"
|-
|<center><math>f_n={1 \over 2 \pi}\sqrt{k \over m}</math></center>  || align="right" | (2.1)
|}



Her betyr:

:fn = naturlig frekvens [Hz], [s <sup>-1</sup>]
:k = fjærstivhet[N/m]
:m = masse [kg]


Uten dempingi systemet vil bevegelsen gå mot uendelig ved den naturlige
frekvensen. Systemet utføres derfor med en demper med gitte
karakteristikker:

:c = demperkonstant[N/v], [N/m/s], [Ns/]

Det er mulig å påvirke området for resonansfrekvenser gjennom parametrene
k og m. En stiv fjær vil gi høye frekvenser og en tung masse vil medføre lave
frekvenser.

Det defineres følgende parameter:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \omega_0=2 \pi f_n=\sqrt{k \over m}</math></center>  || align="right" | (2.2)
|}


Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> {\omega_0}^2={k \over m}</math></center>  || align="right" | (2.3)
|}


Videre defineres:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {c \over m}={2 \zeta \omega_0}</math></center>  || align="right" | (2.4)
|}


Dette gir:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {\zeta}={c \over 2m \omega_0}</math></center>  || align="right" | (2.5)
|}




ω<sub>0</sub> kan identifiseres som systemets resonansfrekvens(egenfrekvens) ved en
dempingsfaktorlik 0 (ingen dempingi systemet).

ζ defineres som den relative dempingi forhold til kritisk demping:



{|width="100%"
|-
|<center><math> {\zeta}={c \over  c_{KRITISK}}</math></center>  || align="right" | (2.6)
|}



hvor



{|width="100%"
|-
|<center><math> c_{KRITISK}= {2\sqrt{km}}</math></center>  || align="right" | (2.7)
|}


Den dempede naturlige frekvens blir:




{|width="100%"
|-
|<center><math> f_d = f_n \sqrt{1 - \zeta^2}</math></center>  || align="right" | (2.8)
|}




Ved lave frekvenser vil massen følge uregelmessighetene i sporet ved
langsgående bevegelse. Dette gjelder både for vertikal forskyvning og for
akselerasjonsbevegelser til vognkassen. Ved massens egenfrekvens vil
aktivitetene oppnå særdeles høye verdier. Ved økende frekvenser avtar
verdiene igjen.

Det er mulig å øke nivået på dempingen. Det må imidlertid bemerkes at
dempere i motsetning til fjærer er meget sensitive i høyere frekvensområder.
Dette har sammenheng med at dempere reagerer som funksjon av hastighet.
Fjærene får forskyvninger på grunn av uregelmessigheter i sporet.

Disse forholdene er vist i figur 2.10. Diagrammet viser forsterkningen i
akselerasjonen uttrykt ved ÿ/w0til en masse som funksjon av frekvensområdet
w(opptredende frekvenser). Forsterkningen i akselerasjonen er illustrert ved
ulike nivåer på dempingen.




[[Fil:Image19.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.10 Forsterkning av akselerasjonen som funksjon av
svingningsfrekvens samt nivå på dempere </caption>]]







Egenskapene blir:

*   lav dempingmedfører stor forsterkning ved resonans
*   høy dempinggir stor forsterkning i akselerasjonen ved høye frekvenser
*  høy dempingoppleves som vibrerende ved høyfrekvente forstyrrelser


En viktig oppgave er derfor å konstruere den optimale demping.

=== Masse med fjær og demper med innebygget fjær ===


Overføring av energi til massen m kan reduseres betydelig ved innføring av
fjær i dempersystemet. Dette er illustrert i figur 2.11. Litt elastisitet vil alltid
opptre i hydrauliske dempere på grunn av sammentrykkingen av olje samt
fleksible innfatningskomponenter i dempersystemet. Det er vanligvis verdifullt
å benytte slike fleksible innfatningskomponenter for å få kontroll over
systemet.




[[Fil:Image20.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.11 Modell av vogn med fjær i dempersystemet </caption>]]







Kombinasjonen av demper og en fjær i dempersystemet har bruddfrekvens
som er definert iht. følgende formel:


{|width="100%"
|-
|<center><math>f_b={1 \over 2 \pi}\left({k_{ss} \over c} \right)</math></center>  || align="right" | (2.9)
|}


Her betyr:



:k<sub>ss</sub>= stivhet i fjæren til dempersystemet
:c=  demperkonstant
:f<sub>b</sub>= bruddfrekvens


Ved frekvenser lavere enn bruddfrekvensen vil systemet opptre hovedsakelig
som demper. Ved frekvenser høyere enn f<sub>b</sub> vil systemet virke som en fjær. Et
passende valg av bruddfrekvens vil gi akseptabel demping ved naturlig
frekvens. Dermed vil overføring av vibrasjoner ved høyere frekvenser bli
redusert.

En verdi av k<sub>ss</sub>
= 10 k vil medføre et meget stivt system. Ved lavere verdier av
k<sub>ss</sub> blir systemet mykere. Dette medfører at overføring av energi til massen m
ved høyere frekvenser minsker betraktelig. Imidlertid vil forholdet føre til en
viss økning i overføring av energi ved resonansfrekvens. Det vises til figur
2.12. Y-aksen illustrerer akselerasjonen uttrykt ÿ/ω<sub>0</sub> og x-aksen
frekvensområdet uttrykt ved ω.


Det kan vises matematisk at for et system med én frihetsgrad vil den optimale
oppførselen til massen skje ved et nivå i dempingen på 20 % og en stivhet i
dempersystemet k<sub>ss</sub> som er 2 ganger større enn fjærstivheten k.


[[Fil:Image22.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.12 Effekt av fjæropplegg i dempersystemet. </caption>]]

===Effekten av primærfjær i systemet ===


Dersom det innføres en primærfjær, dannes et system med 2 masser. Dette
systemet har 2 frihetsgrader og dermed 2 egenfrekvenser (naturlige
frekvenser). Egenfrekvensene vil være avhengige av stivhetene til de 2
elastiske fjærene. Det vises til figur 2.13.


[[Fil:Image23.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.13 System med 2 masser og innebygget primærfjær og
sekundærfjær </caption>]]






Den dynamiske bevegelse til et slikt system som beveger seg på et idealisert
spor, er vist i figur 2.14.

Betydningen av 2 separate resonansfrekvenser kan observeres. Massen av
boggien er mye mindre enn massen av. Samtidig er den primære fjæren mye
stivere. Dette medfører at den naturlige frekvensen til sekundærfjæren blir
høyere (7 Hz).

Primærfjæren filtrerer bort mye av de høyfrekvente bevegelsene som oppstår
på grunn av ujevnheter i sporet. Jo mykere primærfjæren er, jo større blir
effekten av filtreringen.


[[Fil:Image24.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.14 Dynamisk oppførsel til system med 2 masser </caption>]]





Det må imidlertid bemerkes at kontakten hjul - skinne i tillegg introduserer
høyere frekvenser som må isoleres (beskrevet ved Hertzian-fjæren).

=== Toakslede vogner ===


En lang masse har normalt opplegg mot sporet i 2 punkter. En to-akslet vogn
er et slikt eksempel. Vognen har de 2 frihetsgradene hopping og vipping
(galoppering). Generelt vil disse frihetsgradene opptre i forskjellige frekvenser
og ha forskjellige nivåer mht. demping. I tillegg vil de geometriske
egenskapene til vognen filtrere effekter av påvirkninger fra uregelmessigheter i
sporet. Ved bestemte bølgelengder i sporet vil hoppingen av vognen skje med
full amplitude iht. sporets uregelmessigheter. Ved andre bølgelengder vil den
vertikale amplitude i forbindelse med hoppingen bli mindre.

Vippingen av vognen vil ved bestemte bølgelengder kunne skje med full
amplitude.


Det vises til figurene 2.15 og 2.16.



[[Fil:Image25.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.15 To-akslet vogn som utsettes for hopping. </caption>]]







[[Fil:Image26.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.16 To-akslet vogn som utsettes for vipping(galoppering) </caption>]]






Det forutsettes en lengde mellom akslene til vognen lik L. Den maksimale
hoppingen til vognen inntreffer ved definerte bølgelengder i sporet. Likeledes
vil det ved andre bølgelengder i sporet ikke være hopping i det hele tatt. Dette
er vist i tabellen under. Det samme gjelder for vipping. For den illustrerte
vognen vil det være 2 tilfeller av vibrasjonsmuligheter med forskjellige
egenfrekvenser og nivåer på demping som oppstår på grunn av ulike
bølgelengder.

Bølgelengdene som forårsaker hoppingen og vippingen, er bare avhengige av
avstanden mellom punktene for uregelmessighetene i sporet. Frekvensene for
når vibrasjonene opptrer, vil derfor være avhengig av hastigheten. Siden hvert
tilfelle har en spesifisert egenfrekvens, vil hoppingen av vognen (massen) bli
utøvet ved en bestemt hastighet. Ved andre hastigheter vil avstanden mellom
uregelmessighetene i sporet kunne forårsake en filtrerende effekt ved
sammenligning med et system med ekvivalent enhetsmasse.



Tabell 2.1 Hopping og vipping ved ulike bølgelengder

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Bølgelengde !! Hopping av vogn !! Vipping av vogn
|-
| Uendelig || Maksimum|| Null
|-
|2 L || Null|| Maksimum
|-
| L || Maksimum|| Null
|-
| 2L/3|| Null || Maksimum
|-
| L/2 || Maksimum ||Null
|-
| 2L/5 || Null || Maksimum
|-
|}


Effekten av den geometriske filtreringen er meget kompleks, selv for idealisert
spor. Dette er illustrert i diagram 2.17. Diagrammene illustrerer
vertikalbevegelser og galoppering(vipping) for en to-akslet vogn med avstand
mellom akslene på 9 m.






[[Fil:Image27.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.17 Dynamisk opptreden av en typisk to-akslet vogn mht.
vertikalbevegelse og galoppering. </caption>]]






Virkelige opptredende sporfeil kan forårsake mer komplekse bevegelser.
Bevegelsene til to-akslede vogner kan forverres betydelig ved bestemte
hastigheter dersom en bølgelengdeved maksimal hendelse mht. hopping eller
vipping sammenfaller med en bølgelengde hvor uregelmessighetene i sporet
er særdeles store.

Det faktum at både hopping og vipping opptrer i en vognkasse, medfører for
passasjeren at akselerasjonen varierer langs vognkassen. En passasjer som
sitter midt i vognen, vil bare føle hoppingen. En annen passasjer i endene av
vognen vil i tillegg føle vertikal bevegelse fra vippingen. På grunn av dette vil
sannsynligvis komforten oppfattes å være betydelig bedre midt i vognen enn i
vognende. Dette er anskueliggjort i diagram 2.18.





[[Fil:Image28.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.18 Akselerasjoner i vognkassemidt på og i ende. </caption>]]




Et annet forhold er at vognen blir utsatt for momentbøyning. Amplituden av
bøyebevegelsen er naturligvis størst i vognmidt. Bøyningen kan føre til
opplevelser av vibrasjoner for passasjeren.

=== Effekten av boggier ===



En boggi vil utøve tilsvarende løpeegenskaper ved framføring som en toakslet vogn. Hopping og vipping vil også for en boggi være avhengig av
bølgelengder for ujevnheter i sporet samt avstand mellom hjulsatsene til
boggiene. Imidlertid vil normalt vogner med boggier være betydelig lenger enn
to-akslede vogner.

Et annet viktig aspekt er at selve boggien vil utøve et geometrisk tilleggsfilter
for å ta opp uregelmessigheter i sporet. Bølgelengder som påvirker hoppingen
av en boggi, vil normalt ikke bli overført til vognkassegjennom
sekundærfjæringen. Det vises til figur 2.19




[[Fil:Image29.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.19 Vogn med 2 boggier </caption>]]






Boggiene introduserer flere frihetsgrader enn de som påvirker hopping og
vipping. Dermed oppstår flere resonansfrekvenser i systemet. Vipping av
boggien ved resonansfrekvensene vil bare ha liten innflytelse på bevegelsen
av selve vognkassen. Derimot vil hoppingen av boggien i frekvensområdene
for resonans ha stor virkning på bevegelsen i vognkassen.

Løpeegenskapene til en vogn med boggier som framføres på et idealisert
spor, er vist i figur 2.20. Som eksempel er avstanden mellom boggiene blitt
holdt den samme som for en to-akslet vogn med akselavstand lik 9,0 m. I
tillegg er avstanden mellom akslene i boggien lik 2,0 m. Det framkommer at
bevegelsen til vognen med boggier er sammenfallende med bevegelsene til
den to-akslede vognen. Det er imidlertid et fall i aktiviteten ved en frekvens på
7,5 Hz som tilsvarer en bølgelengde på 4,0 m ved hastighet lik 30 m/s. Dette
er et resultat av den geometriske filtreringen av boggien. Togframføring mht.
komfort blir bl.a. betydelig forbedret.




[[Fil:Image30.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.20 Akselerasjonsegenskaper for vognkasse med boggier </caption>]]






I denne diskusjonen er så langt effekten av kontakten hjul/skinne ikke berørt.
Kontakten mellom hjul og skinne influerer særlig på den vertikale bevegelse.
Lateral bevegelse oppstår i prinsippet av samme grunn. Men i tillegg vil det for
den vertikale bevegelse genereres kinematiske bevegelser på grunn av
vibrasjoner i boggiene. Frekvensen i disse vibrasjonene samt dempingen vil
være avhengig av hastigheten. Noen av bevegelsene vil bli overført til
vognkassen, andre ikke.

Det er allerede påpekt at høy demping oppleve s som vibrerende ved
høyfrekvente bevegelser eller forstyrrelser. En viktig oppgave er derfor å
optimalisere dempingen.

Én mulighet er å gjennomføre fjæring i 2 trinn, slik at fjæringen i det første
trinnet virker på den mellomliggende masse (f.eks. boggier). Det andre trinnet
i fjæringen skal virke på den massen (dvs. vognkasse) som isoleres fra
underlagets ujevnheter (sporet).
Det er nettopp dette som skjer ved et rullende materiell som er utstyrt med
primær- og sekundærfjæring med mellomliggende boggimasse. Massen i
boggien virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.

=== Matematiske vibrasjonsmodeller ===



I den klassiske fysikken eller mekanikken blir det beskrevet matematiske
modeller for bevegelser av legemer som vibrerer eller som blir utsatt for
forstyrrelser på grunn av ujevnheter i underlaget. Modellene tar gjerne
utgangspunkt i bevegelsesforløp som funksjon av tiden.

Et enkelt ekvivalent system for beskrivelse av vibrasjoner består av en
konsentrert masse med et fjærsystem. Denne massen blir utsatt for en
framføringskraft og samtidig en retarderende kraft som forårsakes av
demperelementet. Et slikt system er vist i figur 2.21. Massen m kan tenkes
plassert i en generell posisjon som er forskjøvet i en avstand x fra
nøytralstillingen. Kraften i fjæren med stivhet k er i denne stillingen
(nøytralstillingen) lik 0. Det forutsettes at fjæren er tilknyttet et ubevegelig og
udeformerbart fundament. Massen beveger seg iht. en kraft F = f(t) som altså
blir uttrykt som en funksjon av tiden. Men samtidig blir bevegelsen til massen
retardert i demperelementet ved en kraft som vil være proporsjonal med
hastigheten. Denne type av såkalt friksjonsretardasjon blir betegnet som
viskosiøs demping. Denne viskosiøse dempingen kan framstilles på flere
måter.




[[Fil:Image31.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.21 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon. </caption>]]







I figur 2.21betyr:

:m = masse til legemet (kg)
:F = kraft som massen m blir utsatt for (kN)
:kx = retarderende kraft (kN)
:k = fjærstivhet(kN/mm)
:x = tilbakelagt vei fra nøytralstilling til fjæren (mm)
:c = den viskosiøse demperkonstant(N/m/s)
:x = hastighet(m/s)




Newton’ s 2. lov lyder:

{|width="100%"
|-
|<center><math> K=m \ddot{x}</math></center>  || align="right" | (2.10)
|}


Ved anvendelse av denne lov kan bevegelsen i x-retningen beskrives:


{|width="100%"
|-
|<center><math> F - kx - c\ddot{x}=m \ddot{x}</math></center>  || align="right" | (2.11)
|}


Denne likningen kan omformes til:

{|width="100%"
|-
|<center><math> m \ddot{x} + c\dot{x}+ kx = F </math></center>  || align="right" | (2.12)
|}



Et system som ligner på det foregående, er vist i figur 2.22. Det forutsettes at
fjæren er forbundet med et underlag eller et fundament som har fått en
forskyvning som funksjon av tiden lik δ = δ (t). Denne forskyvningen kan enten
ha framkommet ved bevegelse av fundamentet eller ved deformasjon. Dersom
x er den absolutte forskyvning av massen m målt fra nøytral posisjon ved δ =
0, vil fjæren få en spenning:


{|width="100%"
|-
|<center><math> k(x- \delta) </math></center>  || align="right" | (2.13)
|}


For øvrig er betegnelsene de samme som i foregående figur.



[[Fil:Image36.png|400px|thumb||center|<caption>

Figur 2.22 Bevegelse av masse m i en avstand x fra nøytral posisjon når
opplageret til fjæren får en forskyvning. </caption>]]







Dersom hastigheten til deformasjonen av underlaget neglisjeres, blir formelen:


{|width="100%"
|-
|<center><math> -c \dot{x} -k({x - \delta}) = m \ddot {x} </math></center>  || align="right" | (2.14)
|}



Denne kan omskrives til:

{|width="100%"
|-
|<center><math> m \ddot{x} + c\dot{x} + kx = k \delta </math></center>  || align="right" | (2.15)
|}


Vi ser at kraften F i figur 2.15 er erstattet av uttrykket kδ , dvs. produktet av
fjærstivhet og bevegelse av fjæren på grunn av forskyvning av fundamentet.


Likningene

{|width="100%"
|-
|<center><math> m \ddot{x} + c\dot{x}+ kx = F </math></center>  || align="right" | (2.16)
|}

og

{|width="100%"
|-
|<center><math> m \ddot{x} + c\dot{x} + kx = k \delta </math></center>  || align="right" | (2.17)
|}


er lineære differensiallikninger av 2. grad og blir benyttet til å beskrive
bevegelsene til mange systemer, bl.a. også i jernbaneteknikk i forbindelse
med framføring av rullende materiell.

Differensiallikningene lar seg løse ved standardprosedyrer. Noen eksempler
relatert til jernbaneteknikk vises i det etterfølgende.

=== Grunnleggende prinsipper ===


Som kjent framføres det rullende materiell på et spor med diverse
komponenter. Sporet utgjør et byggverk som lar seg opprette mer eller mindre
jevnt, men sporfeil i vertikal retning vil alltid være tilstede. Komforten ville
naturligvis bli meget god i et feilfritt spor. Men en idealisert jevnhet er ikke
mulig å oppnå uten at kostnadene blir enormt store.

Nettopp av kostnadsgrunner både ved nybygging og ved vedlikeholdsarbeider
vil sporet alltid bli overlevert med sporfeil innenfor definerte toleransegrenser.
Dette medfører at det er det skinnegående materiell som må bli utformet på en
slik måte at virkningen av uregelmessighetene i sporet blir redusert mht.
komfort. Dette skal imidlertid ikke oppfattes dit hen at et spor kan ferdigstilles
med sporfeil. Det skal innenfor akseptable kostnader søkes å bygge et spor så
feilfritt som mulig og sporet skal ved overtagelse i alle fall være i samsvar med
definerte toleransegrenser.

Uregelmessigheter og ujevnheter under eller på rullende hjul vil føre til
støtbevegelser som merkes. Av den grunn er vognmateriellet fjæret. Materiell
for frakt av passasjerer har alltid to fjærer i seriekopling. Dette betyr at de har
en primærfjær for boggirammen og en sekundærfjær for selve vognkassen.

Selv med fjærer i seriekopling vil vognkassen bli utsatt for bevegelser og
akselerasjoner ved ujevnheter i sporet. Det skal beskrives hvordan ujevnheter
i sporet kan skape akselerasjoner i vognkassen.

Fjærer medfører at en masse m tilbakelegger en bestemt veg. Denne
bevegelsen vil resultere i en kraft. Fjærstivhet er definert som forholdet mellom
kraft og veg. Jo mykere fjæren er, jo mindre blir fjærkraften ved bevegelse
over samme veg. Dersom en masse m med hjul ruller over en vertikal
ujevnhet med høyde h, kan kraften under forutsetning av gitt fjærstivhet
beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> h \cdot c = F </math></center>  || align="right" | (2.18)
|}


h er ujevnhet i høyde

c er fjærstivhet til et legeme

m er legemets masse



Newtons lover sier at aksjon er lik reaksjon. Dette medfører at fjærkraften F
virker i motsatt retning på hjulet og massen i samsvar med følgende uttrykk:

{|width="100%"
|-
|<center><math>  F = m \cdot \ddot{z} </math></center>  || align="right" | (2.19)
|}




[[Fil:Image43.png|400px|thumb||center|<caption>


Figur 2.23 Kjøretøy som masse-fjærsystem hvor fjærkrefter og
forskyvninger opptrer ved passering av en enkel ujevnhet. </caption>]]





Figur 2.23 viser at fjæren vil overføre ujevnhetene ved hjulet til massen m<sub>1</sub>
over fjærkraften F<sub>1</sub> i bevegelser med en akselerasjon ¨z<sub>1</sub>:


{|width="100%"
|-
|<center><math> h\cdot c_1 \rightarrow F_1 \rightarrow m_1 \cdot \ddot{z}_1 </math></center>  || align="right" | (2.20)
|}


Derav kan utledes:

{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot{z}_1 = {c_1 \over m_1} \cdot h </math></center>  || align="right" | (2.21)
|}


Uttrykket c<sub>1</sub>/m<sub>1</sub> er proporsjonalitetsfaktoren og i denne inngår både
fjærstivheten og massen.

I en seriekobling av fjærer gjentar den samme effekten seg for
sekundærtrinnet. Den vertikale bevegelse z<sub>1</sub> til den mellomliggende masse m<sub>1</sub>
forårsaker sammen med sekundærfjæren med stivhet c<sub>2</sub>
en akselerasjon ¨z<sub>2</sub> til massen m<sub>2</sub> som beregnes til:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot{z}_2 = {c_2 \over m_2} \cdot z_1 </math></center>  || align="right" | (2.22)
|}


Igjen er c<sub>2</sub>/m<sub>2</sub> en proporsjonalitetsfaktor og i denne inngår både fjærstivheten
og massen.


Det er naturligvis om å gjøre å konstruere vognen på en slik måte at
akselerasjonene ¨z<sub>1</sub>
og ¨z<sub>2</sub> blir så lave som mulig ved passering av en ujevnhet
med høyde h. De to proporsjonalitetsfaktorene c<sub>1</sub>/m<sub>1</sub>
og c<sub>2</sub>/m<sub>2</sub> har en
avgjørende betydning.


Likningene ovenfor kan omskrives:



{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\ddot{z}_1 \over h} \left[ {{m \over s^2} \over mm } \right]} = {{c_1 \over m_1}\left[ {{N \over mm} \over kg } \right]}  = {\left[ {{kgm \over c^2} \over kgmm } \right]}</math></center>  || align="right" | (2.23)
|}



Samme relasjoner gjelder naturligvis også for masse m<sub>2</sub>.

Forholdet fjærstivhet/masse indikerer hvilken akselerasjon i m/s
<sup>2</sup>
som den
avfjærede masse vil få med en gang (i første øyeblikk) når fotpunktet til fjæren
blir løftet plutselig 1 mm. Denne kvotienten (generelt c/m) virker som
overføringsfunksjon for intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonen ¨z/h
(generelt).

Neste steg er å undersøke hvordan akselerasjonen fører til svingninger. Med
en sammentrekkende bevegelse til fjæren ved ujevnheten h blir den
potensielle energi til fjæren ved fjærkraft F og fjærveg h:



{|width="100%"
|-
|<center><math> E_{POT}  = { 1 \over 2} \cdot F \cdot h = { 1 \over 2} \cdot c \cdot h^2  </math></center>  || align="right" | (2.24)
|}



I uttrykket for fjærkraften inngår akselerasjonen ¨z. Denne er igjen avhengig
av hastigheten z til massen m. Den potensielle energi som er lagret i fjæren,
går over til kinetisk energi på grunn av bevegelsen til massen:


{|width="100%"
|-
|<center><math> E_{KIN}  = { 1 \over 2} \cdot m \cdot {\dot z } ^ 2    </math></center>  || align="right" | (2.25)
|}



Den bevegelige massen gjør at fjæren strekker seg ut. Denne massen avgir
energi til fjæren helt til fjæren ikke strekker seg mer ut. Deretter starter en
pendling av energien i motsatt retning. Dermed oppstår de karakteristiske
svingningene til massen.
Slike svingninger er dynamiske hendelser med regelmessige bevegelser
mellom bestemte grenser og periodisk veksel mht. energiformen. Den frie
udempede svingning vil teoretisk aldri opphøre. Og det vil gjelde:


{|width="100%"
|-
|<center><math> E_{POT} \rightarrow E_{KIN} \rightarrow E_{POT} \rightarrow .....    </math></center>  || align="right" | (2.26)
|}


Det må gjelde:


{|width="100%"
|-
|<center><math> E_{POT} = E_{KIN} </math></center>  || align="right" | (2.27)
|}




{|width="100%"
|-
|<center><math> {1 \over 2} \cdot ch^2 = {1 \over 2} \cdot {m \dot z }^2 </math></center>  || align="right" | (2.28)
|}



Det kan utledes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\dot{z} \over h} \left[ {{m \over s} \over mm } \right]} = \sqrt { c \over m } </math></center>  || align="right" | (2.29)
|}



Forholdet z (prikk)/h angir den hastighet som massen m får når fotpunktet til
fjæren blir løftet en høyde h på grunn av den vertikale ujevnhet i sporet.
Denne hastigheten er avhengig av størrelsen <math> \sqrt { c/m } </math> som igjen er avhengig av
den spesifikke fjærstivheten c/m. Uttrykket <math> \sqrt { c/m } </math> kan bli betraktet som
overføringsfaktor til den hastigheten som svingningene får.

I moderne skinnegående materiell ligger de spesifikke fjærstivhetene evt.
overføringsfaktorene eller intensiteten i akselerasjonene i størrelsesorden:



{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\ddot{z}_1 \over h} = {c_1 \over m_1 } \approx  1000 \cdot 10^ {-3}  {{m \over s} \over mm }}   </math></center>  || align="right" | (2.30)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\ddot{z}_2 \over z_1} = {c_2 \over m_2 } \approx  5 \cdot 10^ {-2}  {{m \over s} \over mm }}   </math></center>  || align="right" | (2.31)
|}



Det framgår at intensiteten eller forsterkningen i akselerasjonene i de 2
fjærstegene atskiller seg med mer enn 10<sup>2</sup>. Primærfjæren pådrar seg relativt
store akselerasjoner ved små ujevnheter. Sekundærfjæren bevirker på
massen m2små akselerasjoner som er ønskelig mht. komfort. En forutsetning
for dette er bevegelse eller løfting av begge fotpunktene samtidig.

For svingningshastighetene gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\dot{z}_1 \over h} = \sqrt {c_1 \over m_2 } \approx  100 \cdot 10^ {-3}  {{m \over s} \over mm }}   </math></center>  || align="right" | (2.32)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\dot{z}_2 \over  z_1} = \sqrt {c_2 \over m_2 } \approx  7 \cdot 10^ {-3}  {{m \over s} \over mm }}   </math></center>  || align="right" | (2.33)
|}



Ved en samtidig løfting av fotpunktene til begge fjærene ved passering av
ujevnheten med høyde h får primærfjæren en svingningshastighet som er ca.
15 ganger høyere enn svingningshastigheten til sekundærfjæren.
Til nå er det foretatt betraktninger mht. til passering av en hindring i sporet av
kvasistatisk natur. For å komme over hindringen må hjulet bli løftet og fjæren
blir trykt sammen. Det oppstår dermed en kraft i selve fjæren uttrykt ved
fjærstivheten og fjærvegen. Ved passering av hindringen vil hjulet bli senket og kraften samt energien i fjæren forsvinner. Den tiden som hjulet bruker på
nedsenkingen, har avgjørende betydning for de dynamiske bevegelser.
Jo tidligere en nedsenking av hjulet følger etter et løft på grunn av hindringen,
jo mindre blir bevegelsen av selve massen som framføres og dermed også
svingningen. 

Dette gjelder så lenge som at fjæren ikke har overført en
vesentlig del av energien (i fjæren) til massen som er i bevegelse. Dersom
fjæren ved nedsenkingen etter passering av hindringen ikke rekker å bli
avfjæret, vil fjæren fra nedre stilling bli trukket opp igjen og ny energi vil bli
lagret og overført til massen. Energien vil akselerere massen og forårsake
videre svingninger.

Den svingningsdyktige kombinasjonen av fjær og masse og tidsintervallet mht.
serie av ujevnheter står i et definert forhold til hverandre. Så lenge
ujevnhetene i sporet opptrer i en serie med større avstand enn det som
tilsvarer den beregningsmessige varigheten av svingningene, vil
svingningsbevegelsene holde seg på lavt nivå. Varigheten av svingningene
beregnes ut fra den opptredende svingningshastighet. Opptrer ujevnhetene i
sporet i en serie med en avstand som tilnærmet er lik varigheten i
svingningene, vil dette medføre kraftige bevegelser mht. svingninger. Blir
disse parametrene like, vil svingningene fortsette uten stans og det blir
resonans.

Svingninger og virkningene av disse kan påvirkes på forskjellig vis. Uten
særlige tiltak blir i et udempet fjærmasse system den tilførte energien lagret av
fjæren og overført som bevegelsesenergi til massen.

Den mest virksomme metoden mht. å utøve innflytelse på energiopptaket i
forbindelse med svingningene er å redusere ujevnhetene på skinnene i sporet.
Ujevnheten med en høyde h inngår kvadratisk (i 2. potens) i energiopptaket.
En feilfri kjørevei uten ujevnheter er derfor den mest effektive form for å
eliminere svingninger i massen og å skape best mulig komfort. Dessverre blir
gjennomføringen av et slikt tiltak svært dyrt.


Lave akselerasjoner til massen m iht. likningene


{|width="100%"
|-
|<center><math> {\ddot{z}_2 } = {c \over m }  \cdot h   </math></center>  || align="right" | (2.34)
|}


og



{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\ddot{z} \over h} \left[ {{m \over s^2} \over mm } \right]} = {{c \over m}\left[ {{N \over mm} \over kg } \right]}  = {\left[ {{kgm \over c^2} \over kgmm } \right]}</math></center>  || align="right" | (2.35)
|}



kan realiseres med lave verdier av c/m. Myke fjærer med liten fjærstivhet
reduserer energiopptaket i forbindelse med passering av ujevnheter i sporet.
Svingningshastigheten og framfor alt svingningsakselerasjonen til massen m
blir ved et slikt tiltak redusert.

Effekten av et system med 2 svingningsmasser blir tydeliggjort.
Mellommassen m1etter primærtrinnet gjør det vanskelig å bygge opp
akselerasjonene, svingningshastighetene og svingbreddene. Mellommassen
skjermer det etterfølgende sekundærtrinnet mot forstyrrelser. Denne massen sammen med myke primærfjærer fungerer derfor som en sperre for opptak av
bevegelsesenergi. Redusering av energi med dempere og spesielt hydrauliske
svingningsdempere med dempekraft som er proporsjonalt med hastigheten, er
benyttede metoder for kontroll av svingningene.

Formålet med fjærene er å redusere akselerasjonen til massen ved samtidig
opptak av energi når hindringer skal passeres. Dempere skal fjærne
energiopptaket ved en uønsket kraft som opptrer i denne forbindelse. Disse
forhold må kombineres på en slik måte at fordelene blir framhevet og
ulempene fjernet.

Trykkreftene i dempere forsterker oppbyggingen av akselerasjonen til massen,
mens strekkreftene reduserer akselerasjonen. Omvendt vil det være ved
nedbyggingen av akselerasjonen etter passering av hindringen. Bevegelsene
blir forstørret ved strekkreftene og redusert ved trykkreftene.

Det er tilstrekkelig å gjøre trykk- og strekkegenskapene til demperen avhengig
av den opptredende fjærkraft i den hensikt å forbedre komforten.
Akselerasjonen til massen ved oppbyggingen i forbindelse med passeringen
av hindringen forsvinner når summen av fjærkraft og dempekraft blir lik null:


{|width="100%"
|-
|<center><math> m \cdot {\ddot z} = F + S = 0 </math></center>  || align="right" | (2.36)
|}


Den optimale svingningskomfort blir oppnådd når:


{|width="100%"
|-
|<center><math> S = -F  </math></center>  || align="right" | (2.37)
|}


dvs. når:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot z = 0  </math></center>  || align="right" | (2.38)
|}


Hydrauliske dempere framskaffer dempekrefter S som vil være proporsjonal
med dempehastigheten:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \dot z_{rel} = \dot h - z_1  </math></center>  || align="right" | (2.39)
|}


Dette gir:


{|width="100%"
|-
|<center><math> S = k \cdot \dot z_{rel}  </math></center>  || align="right" | (2.40)
|}


Hastigheten i forbindelse med dempingen er på grunn av bevegelsene ikke
mulig å påvirke. Dempekraften S kan derimot tilpasses forholdene gjennom k.
Denne dempeverdien k må fortløpende innstilles i takt med de varierende
forholdene:


{|width="100%"
|-
|<center><math> k = {-F \over {\dot z_{rel}}}  </math></center>  || align="right" | (2.41)
|}


Tekniske forhold begrenser imidlertid verdien av k og den tillatte dempekraft
S:


{|width="100%"
|-
|<center><math> k_{min} \leqslant k \leqslant k_{max} </math></center>  || align="right" | (2.42)
|}




{|width="100%"
|-
|<center><math> S \leqslant S_{max} </math></center>  || align="right" | (2.43)
|}



Dette betyr at den fjærkraftorienterte styringen av dempekraften stemmer
overens med den størst mulige redusering av energien ved minimumsverdien
for akselerasjonen i forbindelse med oppbyggingen og dermed den best
mulige komforten mht. svingningsforløpet.

=== Enkel vibrasjonsmodell relatert til rullende materiell på spor ===


De teoretiske grunnmodellene som ble beskrevet i avsnittet foran, skal
benyttes til å beskrive vibrasjoner i det rullende materiell.
I stedet for en idealisert horisontal bevegelse skal det studeres den vertikale
bevegelse til en vognmasse som består av fjærer og demper. Vognmassen
beveger seg på sporet med ujevnheter i vertikalretning og har en frihetsgrad.
Det vises til figur 2.24.




[[Fil:Image68.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.24 Et dynamisk system med en frihetsgrad som utsettes for
vibrasjoneri vertikalretning </caption>]]





De idealiserte modellene i foregående avsnitt ble utsatt for en horisontal
bevegelse. I tilfellet hvor underlaget eller fundamentet til fjæren fikk en
forskyvning eller deformasjon, ble hastigheten av deformasjonen ikke tatt med
i betraktningen. Dette fordi egenvekten til massen (vertikallast) ikke hadde
innflytelse på fundamentets bevegelse.

I vertikalretningen har massen innflytelse på deformasjonen til underlaget eller
undergrunnen. Følgelig må hastigheten av deformasjonen til underlaget tas
med i modellen. Følgende betegnelser inngår:


:y = forskyvning til massen (mm)
:x = underlagets forskyvning (mm)
:c = demperkonstantfor viskosiøs lineær demper(N/m/s) = (Ns/m)
:k = fjærstivhet(N/mm)
:m = massen
:x = hastighettil demperelementet på grunn av underlagets forskyvning
:y = hastigheten til forskyvningen av massen
:ÿ = massens akselerasjon


Iht. Newtons 2. lov kan følgende formel utledes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> -c \cdot ( \dot y - \dot x) - k \cdot (y - x)=m \ddot y</math></center>  || align="right" | (2.44)
|}



Denne formelen kan skrives om på følgende måte:



{|width="100%"
|-
|<center><math> m \ddot y + c \dot y + ky = cx + kx </math></center>  || align="right" | (2.45)
|}



Formelen er en differensiallikning av 2. grad og derfor matematisk komplisert
å behandle. Det er utviklet matematiske metoder (Pierre Simon de Laplace)
hvor en spesiell type integralfunksjon kan transformere en funksjon til en
annen funksjon iht. formel:



{|width="100%"
|-
|<center><math> f(p) = {\int_{0}^{\infty} e} ^ {-pt}   F(t)dt </math></center>  || align="right" | (2.46)
|}


Laplace-transformasjonen har anvendelser innen teorien for lineære
differensiallikninger med konstante koeffisienter. Transformasjonen er ren
matematisk teknikk for å kunne omgjøre en komplisert funksjon til en enklere
funksjon.

En Laplace-transformasjon av likning i (2.45) gir:




{|width="100%"
|-
|<center><math> (mp^2 +cp +k) \tilde y = (cp + k) \tilde x </math></center>  || align="right" | (2.47)
|}


Som tidligere nevnt defineres følgende:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {k \over m} = \omega_0^2 </math></center>  || align="right" | (2.48)
|}


og



{|width="100%"
|-
|<center><math> {c \over m} = 2 \zeta \omega_0 </math></center>  || align="right" | (2.49)
|}


Dette kan også uttrykkes som:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \zeta = {c \over 2m \omega_0} </math></center>  || align="right" | (2.50)
|}


Iht. ovenstående gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \omega_0 = \sqrt {k \over m } </math></center>  || align="right" | (2.51)
|}



ω<sub>0</sub>
kan identifiseres som systemets resonansfrekvens eller egenfrekvens ved
demping ζ = 0.


ζ er relativ demping i forhold til den kritiske demping:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \zeta = { c \over  {2m \omega_0}}   </math></center>  || align="right" | (2.52)
|}



Likning


{|width="100%"
|-
|<center><math> (mp^2 + cp + k) \tilde y = (cp + k) \tilde x   </math></center>  || align="right" | (2.53)
|}


kan også skrives på formen:


{|width="100%"
|-
|<center><math> { \tilde y \over \tilde x } = { k + cp \over mp^2 + cp + k}   </math></center>  || align="right" | (2.54)
|}


Denne kan utvikles videre:



{|width="100%"
|-
|<center><math> { \tilde y \over \tilde x } = {{ {k \over m} + {c \over m} p} \over { p^2 + {c \over m}p + {k \over m}}}   </math></center>  || align="right" | (2.55)
|}




{|width="100%"
|-
|<center><math> { \tilde y \over \tilde x } = {{ \omega_0^2 + 2 \zeta \omega_0 p  \over { p^2 + 2 \zeta \omega_0 p + \omega_0^2}}}   </math></center>  || align="right" | (2.56)
|}




{|width="100%"
|-
|<center><math> { \tilde y \over \tilde x } = \omega^2 {1+ 2 \zeta {p \over \omega_0} \over 1 + 2 \zeta{p \over \omega_0} + \left( {p \over \omega_0} \right)^2  }    </math></center>  || align="right" |(2.57)
|}


Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> { \tilde y (p) \over \tilde x (p) } = {{ \omega_0^2 + 2 \zeta \omega_0 p  \over { p^2 + 2 \zeta \omega_0 p + \omega_0^2}}}   </math></center>  || align="right" | (2.58)
|}


Med



{|width="100%"
|-
|<center><math> x = x_0 \sin \omega t     </math></center>  || align="right" | (2.59)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> x (j \omega) = x_0 (j \omega)e^{j \omega t} </math></center>  || align="right" | (2.60)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> y = y_0 \sin (\omega t + \theta)    </math></center>  || align="right" | (2.61)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> y (j \omega) = y_0 (j \omega)e^{j \omega t} </math></center>  || align="right" | (2.62)
|}


blir



{|width="100%"
|-
|<center><math> { y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega) } = {{ 1 + j2 \zeta { \omega \over \omega_0}}  \over 1 - \left( { \omega \over \omega_0} \right)^2 + j2 \zeta { \omega \over \omega_0} } </math></center>  || align="right" | (2.63)
|}



Denne likningen beskriver forsterkningen til forskyvningen til massen m på
grunn av ujevnhetene i underlaget. Den dynamiske bevegelse av massen i
forhold til den statiske bevegelse av underlaget uttrykkes som:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y   = \left\vert { y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega)} \right\vert </math></center>  || align="right" | (2.64)
|}


I ovennevnte brøk framstiller telleren den dynamiske bevegelse til massen og
nevneren framstiller den statiske bevegelse til underlaget (undergrunnen) på
grunn av ujevnheter.

Uttrykkene 2.37 og 2.38 kombineres ved følgende omskrivning rent
matematisk:





{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y   = {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } </math></center>  || align="right" | (2.65)
|}




Det defineres en fasevinkel mellom y og x lik θ :




{|width="100%"
|-
|<center><math>  \theta  = \arctan \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0}  \right)- \arctan \left( {{ 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0}}  \over 1 - { \left( { \omega \over \omega_0} \right)^2}} \right)  </math></center>  || align="right" | (2.66)
|}



Det gjentas at ω er opptredende frekvens til massen på grunn av ujevnheter
og at ω<sub>0</sub> er resonansfrekvensen eller egenfrekvensen til massen m.

Dersom

:ζ << 1 og ω<< ω<sub>0</sub> blir θ tilnærmet lik 0<sup>o</sup>

og

:ζ << 1 og ω>> ω<sub>0</sub> blir θ tilnærmet lik 180<sup>0</sup> eller π


Dette betyr at ved lav demping(ζ << 1) vil svingningen skje i fase med
ujevnhetene i underlaget dersom opptredende frekvens ω er vesentlig mindre
enn resonansfrekvensen.
Videre vil ved lav demping svingningen skje i motfase om opptredende
frekvens er høyere enn resonansfrekvensen.

Med




{|width="100%"
|-
|<center><math>  x = x_0 \sin \omega t </math></center>  || align="right" | (2.67)
|}


blir 1. deriverte, dvs. hastigheten


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \dot x = \omega \cdot x_0 \cdot \cos \omega t </math></center>  || align="right" | (2.68)
|}


Den 2. deriverte gir akselerasjonen:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \ddot x = - \omega^2 \cdot x_0 \cdot \sin \omega t </math></center>  || align="right" | (2.69)
|}


Med


{|width="100%"
|-
|<center><math>  y = y_0 \cdot \sin ( \omega t + \Theta ) </math></center>  || align="right" | (2.70)
|}


kan på samme vis utledes at akselerasjonen på grunn av ujevnhetene blir


{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot y = \omega^2 \cdot y_0 \cdot   \sin ( \omega t + \Theta ) </math></center>  || align="right" | (2.71)
|}


Forholdet mellom massens akselerasjon og bevegelsen av vognen på grunn
av ujevnhetene i underlaget kan uttrykkes iht.




{|width="100%"
|-
|<center><math> { \ddot y_0 (j \omega)\over x_0 (j \omega)}  = - \omega^2 { 1+ \left( j \cdot 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)  \over  { 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 + j \cdot  2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} }  } </math></center>  || align="right" | (2.72)
|}


Forsterkningen i akselerasjonen kan uttrykkes ved




{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y   = \left\vert { \ddot y_0 (j \omega) \over \ x_0 (j \omega)} \right\vert </math></center>  || align="right" | (2.73)
|}



Innsatt i ovenstående likning med matematisk omskrivning blir:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y   = {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } </math></center>  || align="right" | (2.74)
|}



Endelig kan den normerte akselerasjonsforsterkning uttrykkes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> { \left\vert H \right\vert_y \over \omega_0^2 }  = { \left( { \omega \over \omega_0 } \right)^2 }  {\left( 1+ \left( 2 \cdot \zeta \cdot { \omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^{1 \over 2} \over \left( {\left( 1- \left( {\omega \over \omega_0} \right)^2 \right)^2 + \left( 2\cdot \zeta \cdot {\omega \over \omega_0} \right)^2} \right)^{1 \over 2} } </math></center>  || align="right" | (2.75)
|}




Forsterkningen eller intensiteten mht. forskyvning |H| <sub>y</sub> og normert
forsterkning mht. akselerasjonen |H|ÿ/ω<sub>0</sub><sup>2</sup>
er vist på figurene 2.25 og 2.26.





[[Fil:Image101.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.25 Forsterkning av forskyvningen til en masse som funksjon av
opptredende svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens </caption>]]







[[Fil:Image102.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.26 Forsterkning av akselerasjonen til en masse som funksjon
svingningsfrekvens i forhold til resonansfrekvens</caption>]]







En viktig oppgave er derfor å optimere dempingen.

En mulighet er å etablere fjærkonstruksjon i to trinn. Den første
fjærkomponenten skal virke på en mellomliggende masse (for eksempel en
boggi) og den andre komponenten skal virke på den massen som må isoleres
fra underlagets ujevnheter.

Det er nettopp dette som er tilfelle for en vogn med primærfjær og
sekundærfjær. Vognen ha da en mellomliggende masse som er boggien.
Denne boggimassen virker som et filter for høyfrekvente forstyrrelser.

=== Eksempel – ujevnheter i undergrunnen ===



Det skal illustreres et eksempel på hvordan vertikale bevegelser kan opptre i
det rullende materiell ved framføring. Vognen har en hastighet lik v (m/s). I
underbygningen eksisterer periodiske ujevnheter med avstand L mellom
disse. Vognmateriellet vil da passere ujevnhetene med en frekvens lik



{|width="100%"
|-
|<center><math>  f=v/L </math></center>  || align="right" | (2.76)
|}



Her betyr:




:f = frekvens (Hz), (s<sup>-1</sup>)
:v = hastighet(m/s)
:L = avstand mellom de periodiske ujevnheter (m)


Dette er vist i figur 2.27.






[[Fil:Image104.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.27 Sporkonstruksjon med periodiske ujevnheter i undergrunnen</caption>]]





På grunn av variasjon av elastisiteten i overbygningen vil det opptre en
endring av den vertikale statiske deformasjon x<sub>0</sub>(jω)= δ<sub>0</sub> i underlaget til
sporkonstruksjonen ved passering av det rullende materiell. Vognen kan da
anta en dynamisk bevegelse i vertikalretningen lik y<sub>0</sub>(jω)= x<sub>0</sub>.


Her betyr:


:δ<sub>0</sub> er amplitude for den statiske deformasjon i vertikal retning i underlaget når et legeme med masse m passerer

:x<sub>0</sub> er amplitude for den dynamiske bevegelse i vertikal retning i til legemet med masse m

:ω<sub>0</sub> = p er massens egenfrekvens

:ω = frekvens som det rullende materiell passerer de periodiske ujevnhetene med




Forholdet




{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y   = \left\vert { x_0 \over \ \delta_0 } \right\vert = { 1 \over 1 - \left( {\omega \over p } \right)^2 }  </math></center>  || align="right" | (2.77)
|}


er vist i figur 2.28og 2.29. ζ er dempingsfaktor i forhold til kritisk demping for
det rullende materiell. ζ = 1 medfører


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left\vert H \right\vert_y  \approx 1 </math></center> || align="right" | (2.78)
|}


for alle ω/p<sub>0</sub>





[[Fil:Image107.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.28 Bevegelse av vogn over ujevnhet i underbygningen</caption>]]









[[Fil:Image108.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.29 Dannelse av resonans</caption>]]






For f = v/L = w> p<sub>0</sub> vil tallverdien av H – funksjonen anta en lav verdi. Dette er
meget gunstig mht. å unngå resonans og gjelder for alle dempingsforhold i
forhold til kritisk demping. Forholdet medfører at det er fordelaktig å passere
de periodisk opptredende ujevnheter med stor hastighet.


For f = v/L = ω< p<sub>0</sub> vil tallverdien av den samme funksjonen anta en lavere
verdi enn verdien for resonans. Effekten mht. til å unngå resonans ved lavere
hastigheter er ikke så gunstig som ved høyere hastigheter.

For f = v/L = ω= 0 blir forholdet lik 1. Da står vognen stille.

Det eksisterer ulike tiltak for å redusere vibrasjonene. Det mest effektive
tiltaket er å eliminere den utøvende kraft som er årsak til vibrasjonene:


* jevn og homogen elastisitet i sporkonstruksjonen
* introdusere dempingselementer som myk mellom leggsplate(i gummi) mellom skinne og sville
* sørge for tilstrekkelig minimumshøyde i ballastlaget
* toget tvinges til en framføringshastighet hvor frekvensen ved passering av ujevnhetene i overbygningen er forskjellig fra egenfrekvensene til togets komponenter






==== Innvirkning på kjøredynamikken lateralt på grunn av feil i sporet ====



En type sporfeil som må vies oppmerksomhet, er langbølgede sidefeil med
bølgelengderover ca. 30 m. Disse finnes spesielt i kurver og er vanligvis av
periodisk karakter. Feilene er årsak til forstyrrelse av komforten. For
krengetogene er krengeteknikken en funksjon av den ukompenserte
sideakselerasjon i sporplanet og disse togtypene vil derfor være svært
ømfintlige overfor langbølgede sidefeil. Dette er vist i figur 2.30. Eksemplet
illustrerer en langbølget sidefeil på 80 m og en lateral forskyvning av sporet på
0,028 m ved kilden til sporfeilen..




[[Fil:Image109.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.30 Langbølgede sidefeil i sporet opptegnet i et diagram fra
målevognskjøring</caption>]]






Kilden til langbølgede sidefeil er en alvorlig lateral sporfeil. Denne feilen
forårsaker bevegelser sideveis av vognen som overfører dempede periodiske
laterale bevegelser mot sporet.
Dersom bølgelengdene korresponderer med resonansfrekvensen til en vogn i
lateral retning, kan det oppstå ubehagelige situasjoner. I figur 2.31 støter
vognen sideveis mot sporet med en kraft F<sub>0</sub> der hvor den alvorlige sporfeil er
oppstått. Stivheten til sporet sideveis kan betegnes med k. ω er den frekvens
som vognmateriellet passerer de periodiske ujevnhetene med. p er vognens
resonansfrekvens. Sideveis bevegelse til vognmateriellet er x som vil variere
som funksjon av avstand fra den alvorlige sporfeil. Uttrykket F<sub>0</sub>/k beskriver den
statiske deformasjonen i sporet. Iht. litteraturen kan følgende uttrykk utledes:



{|width="100%"
|-
|<center><math> x = { { F_0 \over k  } \over 1 - \left( { \omega \over p } \right)^2 } \sin \omega t </math></center>  || align="right" | (2.79)
|}



Det dannes dempede svingninger. Disse kan beskrives av en
omhyllingskurve. Det vises til figur 2.32.




[[Fil:Image111.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.31 Illustrasjon av langbølgede sidefeil</caption>]]







[[Fil:Image112.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.32 Forløp av dempede svingninger med omhyllingskurver</caption>]]

=== Bevegelseslikning for det rullende materiell ===



I de foregående avsnitt er det blitt diskutert utførlig den vertikale bevegelse til
et enkelt legeme eller masse. En enkel svingningsteori for kun en bevegelse
er betraktet. Forsterkningen av forskyvningen til massen i forhold til
underlagets endring av deformasjonen på grunn av varierende elastisitet og
tilfelle for resonansbevegelser er diskutert.


Det er påpekt at det er til sammen 6 mulige bevegelser for en masse eller
legeme som beveger seg langs sporet:



*   langsgående bevegelseell er rykk i kjøreretningen
*   lateral bevegelseeller sidesleng
*   vertikalbevegelseeller hopping
*   rotasjonsbevegelseeller rulling
*  galoppering eller vipping
*  svingning



Ved å betrakte alle disse bevegelsene til et legeme blir naturligvis forholdet
vesentlig mer komplisert og omfangsrikt enn når bare en bevegelse (den
vertikale) betraktes.

Et rullende materiell kan tenkes sammensatt av flere enkeltstående legemer
som er forbundet med fjærer og dempere. I en slik sammensatt modell hvor
bevegelsen til hver del beskrives av 6 frihetsgrader, kan den resulterende
bevegelse av modellen beskrives av en vektor med forskyvning




{|width="100%"
|-
|<center><math> \bar X </math></center>  || align="right" | (2.80)
|}



av alle frihetsgrader. 


Legemene og deres systemtregheter med hver frihetsgrad kan bli uttrykt ved
en matrise


{|width="100%"
|-
|<center><math> \left[ M \right] </math></center>  || align="right" | (2.81)
|}



og forholdet mellom forskyvning og hastigheten til frihetsgradene. Stivhetene
og dempingen kan uttrykkes ved matrisene


{|width="100%"
|-
|<center><math> \left[ K \right] </math></center>  || align="right" | (2.82)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> \left[ C \right] </math></center>  || align="right" | (2.83)
|}



Likninger for bevegelse av en modell kan skrives på følgende form:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \left[ M \right] \ddot X + \left[ C \right] \dot X + \left[ K \right]  X = F </math></center>  || align="right" | (2.84)
|}



F er eksterne krefter som virker på vognen.


Matrisen for demping må skrives på formen


{|width="100%"
|-
|<center><math> \left[ C \right]  = \left[ C_1 \right]  + {1 \over V} \left[ C_2 \right]  </math></center>  || align="right" | (2.85)
|}



Dette fordi dempingen tar i betraktning stivhet og hastighetsavhengige
elementer.

Løsningen av disse likningene i matrisene gjør det mulig å beregne stabilitet,
kjøreegenskaper og evnen til å gjennomløpe kurver til et rullende materiell ved
å ta hensyn til materiellets ulike komponenter (ikke bare et legeme med en
masse).







=== Dynamisk modell av vogn-spor ===








Den gjensidige dynamiske påvirkning mellom rullende materiell og spor kan
matematisk beskrives meget godt og definert i vertikal retning. Figur 2.33gir et
eksempel på en slik modell som består av et diskret (avsondret) masse - fjær
system for det rullende materiell og en diskret opplagret bjelke på elastisk
underlag. I kontaktflaten mellom hjul og skinne eksisterer den såkalte Hertzian
fjæren.

Den dynamiske oppførsel opptrer i et meget vidt bånd fra lave frekvenser i
størrelsesorden 0,5 - 1,0 Hz for vertikale og laterale akselerasjoner opp til
2000 Hz i vognkasse som en konsekvens av geometriske ujevnheter i skinner
og på hjulbane.



[[Fil:Image119.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.33 Dynamisk modell av vogn - spor</caption>]]






Det skal i det etterfølgende bli forsøkt å skape en forståelse for de dynamiske
krefters natur ved beskrivelse av sporets og det rullende materiellets
dynamiske karakter.
Et dynamisk system som består av fjærer og masser har i det minste en
egenfrekvens. Ved denne frekvensen vil systemet vibrere. Det er allerede
nevnt at et enkelt system med én masse og én fjær med stivhet k har
egenfrekvens iht. følgende formel:



{|width="100%"
|-
|<center><math> f_0 = {{ \sqrt { k \over m}} \over 2 \pi } </math></center>  || align="right" | (2.86)
|}


Her betyr:


:f<sub>0</sub> = egenfrekvens(Hz), (s<sup>-1</sup>)
:k= fjærkonstant(kN/mm)
:m= masse i kg



Det kan utledes av formelen at en stor masse med myk fjær gir lave
frekvenser. Omvendt vil en liten masse med stiv fjær forårsake høye
frekvenser.

Sporet er bygd opp av flere komponenter. Et konvensjonelt spor består av
skinner, befestigelse med fjærer og mellomleggsplater (elastisk
skinnebefestigelse), sviller og endelig ballast samt underbygning.
På samme måte kan det rullende materiell deles opp i vognkasse,
boggiramme og hjulsats.

Et system bestående av sporet og det rullende materiell kan illustreres som
vist i figur 2.25. I denne formen er vognmateriellet forbundet med fjæroppheng
og demper mellom vognkasse og boggi(sekundærfjær) og et nytt
fjæroppheng med demper mellom boggi og hjulsats. Den direkte kontaktflaten
mellom hjul og skinne kan beskrives ved den såkalte Hertzian-fjæren. Det
høyelastiske mellomlegget mellom skinne og sville kan også betraktes som en
fjær med gitt stivhet og demper. Under sville hviler ballasten på en
underbygning. Alt etter undergrunnens beskaffenhet har ballasten forskjellige
stivheter.

Systemet består altså av flere legemer som er forbundet med hverandre
gjennom fjærer og dempere. Hvert av disse legemene kan da tilordnes hver
sin egenfrekvens. Dessuten er det nødvendig å betrakte systemet som en
helhet med en resulterende egenfrekvens.
Det er påvist at hver komponent i sporet blir utsatt for ulik påkjenning fra
samme dynamiske kraft mot skinnens kjøreflate. Dette henger sammen med
at sporet og det rullende materiell kan betraktes som et dynamisk system som
beskrevet.
De opptredende frekvenser for de enkelte legemer i systemet kan beregnes
iht. følgende formel:



{|width="100%"
|-
|<center><math> f = {{ \sqrt { k \over m}} \over 2 \pi } </math></center>  || align="right" | (2.87)
|}


hvor


:f = det enkelte legemets egenfrekvens
:k= legemets stivhet (N/m)
:m= legemets masse (kg)


Normalt vil vognkassen ha den største massen og det mykeste fjæropphenget
i systemet. Med tilordnet demper medfører dette lave frekvenser i vertikal
bevegelse. Boggirammen har mindre masse og som regel stivere fjær. Dette
medfører høyere frekvenser. Hertzian-fjæreni kontaktflaten mellom hjul og
skinne er meget stiv og fører til særdeles høye frekvenser.
Den resulterende masse bestående av komponentene i sporet opptrer som
ekvivalent medsvingende masse. Denne ekvivalente medsvingende masse er
normalt mindre enn vognkassens masse og har også en høyere fjærstivhet.

Dette fører som regel til høyere frekvenser for sporet enn for vognkassen.
Spesielt i tunneler med lav ballasthøyde og uten ballastmatter kan
frekvensene bli til dels meget store.

Det rullende materiell forårsaker resulterende egenfrekvenser i området 0 < f
< 30 Hz. Den resulterende svingende masse er bestemt ut fra vekten av
vognkasse, boggiramme, og hjulsats. I den nedre delen av dette
frekvensområdet kan sporet antas å være stivt og ubevegelig.

I frekvensområdet 20 < f < 60 Hz oppstår en sone hvor hjulsats og spor
danner et felles svingende system. Den svingende masse blir summen av
hjulmasse og ekvivalent medsvingende spormasse.

For høyere frekvenser vil sporet igjen stivne og det oppstår
resonanssvingninger mellom hjul og skinne. Dette medfører store
overflatespenninger på hjul og skinne.

Figur 2.34viser hvilke deler i vognmateriellet som antar bestemte typer av
resonansbevegelser ved gitte hastigheter og ved hvilke bølgelengder disse
bevegelsene inntreffer.




[[Fil:Image122.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.34 Egenfrekvenser for de enkelte komponenter i vognmateriellet</caption>]]






I diagrammet er angitt bølgelengde langs abscissen og ordinaten viser
hastighetsnivået. Intervallområdene for resonansbevegelser for de ulike deler
av vognmateriellet er inntegnet. Det framgår f.eks. at vognkassen til en vogn
vil anta vertikalbevegelser(hopping) i frekvensområdet 1 - 2 Hz. Avhengig av
framføringshastighet(10 m/s til 60 m/s) vil den periodiske bølgelengde variere
fra 5 m opp til 50 m.

Et lokomotiv vil anta resonansbevegelser mht. hopping og galoppering i
frekvensområdet 5 til 15 Hz. Dette skjer i bølgelengdeområdet 0,5 m til 5,0 m i
angitt hastighetsområde.

Tilsvarende vil det opptre hopping av hjulsett til en boggi i frekvensområdet 30
- 50 Hz i samme hastighetsintervall (10 m/s - 60 m/s) ved bølgelengder i
området 0,2 m til 2,0m. Det gjøres oppmerksom på at svilleavstanden er 0,6
m. Svillene representerer en plutselig forandring i elastisitetsforholdene i
sporkonstruksjonen, spesielt ved for lav ballasthøyde. Dette kan under
ekstreme forhold føre til resonansbevegelser.

Det skal gis en teoretisk betraktning mht. bevegelse av en partikkel på sporet
hvor en bølge i sporets overflate i en idealisert tilstand tenkes beskrevet ved
følgende funksjon: 


:z = z<sub>0</sub> cos kx

hvor

:k = 2π/L

Her betyr:

:L = bølgens lengde (m)
:z<sub>0</sub>= bølgens amplitude

En massepartikkel beveger seg på bølgens overflate med hastighet

:v(m/s)

Med tilbakelagt vei

:x = vt

vil massepartikkelen i tidsperioden bevege seg

:z = z<sub>0</sub> cos kvt

I en definert tidsperiode T beregnes bølgelengden til:

:L = vt (m)

eller

:L = v/f

hvor

:f = 1/T (s<sup>-1</sup>) eller (Hz)

Dersom sporet tenkes helt stivt, dvs. i frekvensområdet f < (20 - 30) Hz, vil
bølgelengder iht.

:L = vf<sup>-1</sup>

variere i området 2 m < L < 60 m ved hastighet ca. 60 m/s.

Tilsvarende oppnås aktuelle bølgelengder i frekvensområde 30 < f < (60 -
100) Hz lik 0,60 m < L < 2 m.

=== Hertzian - fjæren ===



Gjennom den gjensidige påvirkningen i vogn - sporsystemet blir krefter
overført ved kontaktflaten mellom hjul og skinne. Denne kraften F forårsaker
en vertikal bevegelse av hjulet til boggien og sammenhengen mellom
bevegelse og kraft uttrykkes ved den såkalte Hertzian-fjæren. Den antatte
lineariserte stivheten til Hertzian-fjæren kan beskrives ved differensialligningen



{|width="100%"
|-
|<center><math> k_H = { dF \over dy } </math></center>  || align="right" | (2.88)
|}


Dette betyr at stivheten kH
beskriver en lineær forandring av kraft over en gitt
lengdeenhet. Egentlig er denne stivheten ikke lineær, men dette blir altså
antatt i den matematiske modell.

Stivheten kH er i litteraturen angitt som en funksjon av aksellast og
hjuldiameter. Som eksempel kan nevnes at for en hjuldiameter på 1,00 m og
en statisk hjullast lik 75 kN er det beregnet en verdi for kH
lik:


:1,4 x 10<sup>9</sup> N/m for nye hjul
:1,6 x 10<sup>9</sup> N/m for eldre hjul

Det blir altså antatt en stivere verdi for eldre hjul enn for yngre hjul.

Iht. figur 2.35 kan sammenhengen mellom den gjensidige påvirkningskraften
F<sub>H</sub> og forandringen i lengden til Hertzian-fjæren bestemmes ved følgende
ligning:


{|width="100%"
|-
|<center><math> F_H = k_H \cdot ( y_W -y_R -y_G ) </math></center>  || align="right" | (2.89)
|}



Her betyr:


:y<sub>W</sub>= den vertikale forskyvning av hjulet i nivå med aksel

:y<sub>R</sub>= den vertikale forskyvning av skinnen under påvirkning av kraft F<sub>H</sub>

:y<sub>G</sub>= vertikal geometri av skinnen

:k<sub>H</sub>= den lineariserte stivhet i Hertzian-fjæren

:F<sub>H</sub>= vertikal dynamisk kraft i kontaktflate hjul–skinne





[[Fil:Image125.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.35 Hertzianfjæren</caption>]]








For å holde de dynamiske kreftene så lave som mulig er det nødvendig å
vektlegge forskjellige aspekter ved konstruksjon av vognmateriell.

Vognen må utøve stabilitet innenfor det hastighetsområde den er dimensjonert
for. Dette betyr at det må være tilstrekkelig nivåer på alle dempere
i relevante
vibrasjonsområder. Over tid slites hjulflensen og forandring av konisiteten
oppstår. Spesielt ved høyere hastigheter kan forandring av konisitet føre til
ustabilitet ved framføring av det rullende materiell.

Mht. komfort for passasjerene er det nødvendig å innføre myke fjæroppheng.
Sammen med stor vognmasse medfører dette lave vertikale egenfrekvenser. 

Store sporkrefter og derved utmatting samt slitasje oppstår på sporet på grunn
av stor vognmasse og spesielt på grunn av den uavfjærede masse. Uavfjæret
masse er massen under det primære fjæropphenget til vognen og er derfor
massen som hviler direkte på kontaktflaten mellom hjul og skinne.

Det må av den grunn gjøres avveininger eller kompromisser mht. konstruksjon
av vognmateriell. Tunge vogner vil bevirke god komfort fordi de reagerer tregt
på ujevnheter i sporet. På den annen side vil tung masse føre til utmatting på
sporets komponenter.

Det er helt nødvendig å unngå flate hjul for å hindre hjulslag.

Men det må også stilles krav til overbygningen. Overbygningen må ha jevn og
homogen elastisitet. Ballastlaget må derfor være ensartet og ha konstant
høyde. Videre bør ballastlaget legges på en underbygningskonstruksjon hvor
formasjonsplaneter lagt ut med stor nøyaktighet mht. jevnhet (helt plant).
Ujevnheter i formasjonsplanet kan føre til uheldige bevegelser av materiellets
ulike deler i vertikalretningen med resonansfrekvenser som følge.

== HJULSETTPÅ SKINNEBUNDET SPOR ==



Bevegelsesmønsteret til hjulsettet til et vognmateriell på skinnebundet spor er
fundamentalt for forståelsen av kjøredynamikken. I dette avsnittet skal det gis
en beskrivelse av bevegelsene. I neste avsnitt følger de matematiske likninge
som er forbundet med framføring av det rullende materiell.



=== Differanse i rulleradius til hjulene i hjulsettet ===



Hjulbanene til hjulene i et hjulsett er formet konisk. Når hjulsettet antar en
lateral bevegelse i forhold til spormidt, vil rulleradius bli endret. Dette er
illustrert i figurene 2.36,2.37 og 2.38. Figur 2.36 viser tilfellet når hjulsettet
beveger seg med nominell hjulradius r<sub>NOM</sub>
. Når flensen til hjulet flytter seg mot
innvendig kant av skinnehodet, vil rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet
mellom hjul og skinne r<sub>c.</sub> øke. Beveger flensen til hjulet seg vekk fra innvendig
skinnekant, blir rulleradius mindre enn r<sub>NOM</sub>
.






[[Fil:Image126.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.36 Rulleradius r<sub>NOM</sub> til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og
skinne.</caption>]]











[[Fil:Image127.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.37 Rulleradius r<sub>C</sub> til hjulbanen i kontaktpunktet mellom hjul og
skinne. Rulleradius er større enn nominell radius.</caption>]]







I figur 2.38 er vist et tilfelle hvor rulleradius r<sub>C</sub>
kan bli meget stor.





[[Fil:Image128.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.38 Kontaktpunktet mellom hjul og innvendig skinnekant ligger i
flensområdet.</caption>]]






Etter som hjulsettet beveger seg lateralt fra den midtre eller nominelle
posisjon, vil en hjulflens nærme seg innvendig kant av skinnehodet. Den
andre hjulflensen vil fjerne seg fra skinnehodet. Dette medfører at rulleradius
til hjulbanen i kontaktpunktet for det ene hjulet vil øke. Tilsvarende vil
rulleradius til hjulbanen i kontaktpunktet til det andre hjulet avta. Dermed
oppstår det en differanse i rulleradius til de 2 hjulene i hjulsettet.

Dersom hjulprofilene var helt koniske, ville gravitasjonssenteret til hjulsettet ha
samme høyde ved lateral bevegelse. Men vanligvis er hjulsettene utsatt for
slitasje som fører til hult profil. Dette medfører en kraftig endring av hjulradius
for det hjulet hvor flensen nærmer seg innvendig kant av skinnehodet.
Differensen i rulleradius til hjulbanene for de 2 hjulene vil da bli meget stor.
Gravitasjonssenteret til hjulsettet vil løfte seg litt. Forholdet kan medføre
klatring som til slutt kan ende i avsporing. Dette vil imidlertid bli forsøkt hindret
av hjulsettets treghet og stivhet til primærfjæren. I figur 2.39er det vist
forskjellen mellom et korrekt konisk profil og et slitasjeprofil.





[[Fil:Image129.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.39 Forskjellen mellom konisk profil og slitasjeprofil.</caption>]]

=== Effekt av lateral bevegelse av hjulsettet ===


Dersom et hjulsett beveger seg f.eks. lateralt til venstre i forhold til sporet i
kjøreretningen, så vil rulleradius til hjulbanen til det venstre hjulet r<sub>L</sub> øke. Det
vises til figur 2.40. Rulleradius til hjulbanen til det høyre hjulet derimot vil avta
når hjulet beveger seg fra skinnen. Når omkretsen til det venstre hjulet blir
større, vil det prøve å rulle videre ved en gitt rotasjonshastighet. Når fjæringen
til slutt utøver motstand, vil det oppstå motsatt like store langsgående krefter på de 2 hjulene. Dette medfører et dreiemoment som forsøker å bringe
hjulsettet tilbake til senterlinjen i sporet.




[[Fil:Image130.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.40 Lateral bevegelse av hjulsettet.</caption>]]






Dersom hjulsettet beveger seg med en anløpsvinkel i sporet, vil hjulene i
hjulsettet prøve å fortsette rullingen i den angitte retning. Dette er vist ved de
svake angitte dobbeltpilene i figur 2.41. Dersom hjulsettet i denne stillingen b
tvunget til å fortsette den parallelle bevegelsen i sporet (angitt ved de svarte
dobbeltpilene), vil det oppstå laterale krefter på hjulbanen til hvert hjul.





[[Fil:Image131.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.41 Hjulsettet beveger seg på sporet med en anløpsvinkel.</caption>]]






Dersom det er hjulflensen som framtvinger hjulsettet til å løpe parallelt med
sporet med anløpsvinkel, så vil det fremdeles være en lateral kraft F på
hjulbanen til hvert hjul. Hjulflensen på det venstre hjulet må imidlertid utvikle
en kraft på 2 F i retning mot høyre for å overvinne hjulbanekreftene. Når
hjulbane- og hjulflenskreftene summeres på det venstre hjulet, vil det oppstå
en netto kraft lik F mot høyre på det venstre hjulet. Det vil da bli en
rotasjonsbevegelse mot høyre. Dette er vist i figur 2.42.




[[Fil:Image132.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.42 Motsatt rettede krefter i hjulbanen framtvinger en dreining av
hjulsettet mot høyre.</caption>]]



Kreftene vist i figur 2.42 er de resulterende krefter på hjulene. Kreftene på
skinnene vil bli like store og motsatt rettet. Dette betyr at hjulsettetvil generere
krefter som vil trekke skinnene fra hverandre og dermed føre til større
sporvidde.

=== Bevegelse av et fritt hjulsett på rett linje ===

Det antas at et fritt hjulsett beveger seg på et spor. Videre forutsettes at
hjulsettet starter denne bevegelsen fra en forskjøvet posisjon. På grunn av
forskjell i rulleradius til hjulbanene på de 2 hjulene vil hjulsettet av seg selv
styre inn mot senterlinjen av sporet. Når hjulsettet når senterlinjen av sporet,
vil det danne en anløpsvinkel i forhold til skinnene. Av den grunn vil hjulsettet
gå mot den andre siden av sporet og bevegelsene vil fortsette på denne
måten. Bevegelsesmønsteret er vist i figur 2.43.

Denne trigonometriske bevegelsen på sporet betegnes som hjulsettets
kinematiske bevegelse og er kun en funksjon av det geometriske systemet.
Bestemmende parametre er den effektive konisitet til hjulsettet, hjulradius og
sporvidde. Den effektive konisitet utledes av helningen på skinnene og de
koniske hjulene på hjulsettet. Den bølgelengde som oppstår, kalles den
kinematiske bølgelengde og er uavhengig av hastighet. Dette medfører at
frekvensen av den kinematiske bevegelse øker lineært med økende hastighet.

Denne bevegelsen kan i siste konsekvens føre til ustabilitet og såkalt hunting
(hjulflensen støter mot skinnekantens innside).




[[Fil:Image133.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.43 Bevegelse av et hjulsett i en kurve.</caption>]]






I en kurve vil den ytre skinnen være lenger enn den indre skinnen. Dersom
hjulsettet beveger seg tilstrekkelig langt nok lateralt mot den ytre skinne ved
framføring, vil differensen i rulleradius til hjulbanene til de 2 hjulene utligne
forskjellen i lengde. Et hjulsett som følger en slik bevegelse i en kurve,
betegnes å følge den ideelle linje. Dette er illustrert i figur 2.44.




[[Fil:Image134.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.44 Bevegelse av hjulsett i kurve.</caption>]]








Et hjulsett som har radielle egenskaper og som følger den ideelle linje, vil løpe
perfekt gjennom kurven. Dermed vil tilleggskrefter ikke genereres. Imidlertid er
det viktig å være klar over at størrelsen av tilgjengelig lateral bevegelse vil bli
begrenset ved hjulflensens tilstedeværelse. For et hjul med konisitet lik 1 : 20
vil det være nødvendig med en radius lik 1700 m for at hjulsettet skal følge
den ideelle linje uten flenskontakt.

=== Rullende friksjon ===


Friksjonskrefter oppstår på grunn av differanse i rulleradius til hjulbanene i
hjulene og på grunn av anløpsvinkel. Disse friksjonskreftene er forskjellig fra
den klassiske glidende friksjon. Dette har sin bakgrunn i at hjulsettet ruller
langs sporet.

Teorien og forståelsen av den rullende kontakt er fundamental for utviklingen
av den teoretiske forståelse av kontakten hjul/skinne.

Den rullende kontakt eller den relative bevegelse mellom hjul og skinne
benevnes kryp. Kryp er hastigheten av overflatekontakten til det ene legemet
relativt til overflatekontakten til det andre legemet. Krefter på grunn av kryp
kalles krypkrefter.

Et typisk krypkraft/krypforhold er vist i figur 2.45. Ved den glidende friksjon
bygges kraften opp til et høyt nivå med en gang. Men med en gang den er
oppstått, synker den glidende krypkraft med økende relativ hastighet. Mht. den
rullende friksjon vil kraften være proporsjonal med den relative hastighet eller
kryp ved lave verdier. Ved høyere verdier av hastighet/kryp vil kraften nærme
seg asymptotisk mot et nivå som er gitt ved friksjonskoeffisienten multiplisert
med normallast lik N.




[[Fil:Image135.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.45 Rullende friksjon og glidende friksjon.</caption>]]

== SAMVIRKE MATERIELL - BANE, KONISITET ==




I det foregående avsnitt ble bevegelsen av hjulsettet beskrevet. I dette
avsnittet skal de matematiske sammenhenger diskuteres.

Generelt har hjulene følgende oppgaver:


*Bære det rullende materiell
*Styre det rullende materiell i lateral retning
*Overføre trekk- og bremsekrefter




=== Hjulsatsen ===



Hjulsatsen er et av jernbaneteknikkens grunnleggende konstruksjonselement.
Hvert av hjulene har en hjulbane som er i kontakt med skinnen og en flens.
Hjulflensens oppgave er å styre hjulsettet lateralt i sporet.

De 2 hjulene i et hjulsett er forbundet med en aksel. En hjulsats kan dermed
beskrives som et par konede hjul med flenser hvor hjulene er stivt forbundet
med akselen.


Figur 2.46 illustrerer et hjulsett på sporet.



[[Fil:Image136.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.46 Definisjon av viktige parametre for en hjulsats på sporet.</caption>]]







Følgende parametre defineres:


*Nominell sporvidde som er avstanden mellom kontaktpunktene for
løpebanenes middellinjer (sirkellinjer) på skinnene. Denne parameteren er
meget viktig og må ikke forveksles med sporvidde. Nominell sporvidde skal
være 1500 mm.


*Sporvidde som er avstanden mellom innsiden til de 2 skinnene målt 14 mm
under skinnetopp. Sporvidden skal være 1435 mm. Toleranseverdier er
vanligvis + 10 mm og - 3 mm for et spor av vanlig bra standard. Detaljerte
toleransemål i de ulike hastighetsavhengige kvalitetsklaser er gitt i
regelverket.


*Flensvidde som er avstanden mellom hjulflensene mot innside av
skinnekant målt 10 mm under overkant av skinnetopp for et spor med
nominell sporvidde. Det forutsettes at hjulsettet er i sentrert posisjon.
Flensvidden er 1426 mm med toleranseverdier lik + 0 mm og -16 mm.


*Hjulvidde som er avstanden mellom innside av hjulene og er 1360 mm på
et standard spor med nominell sporvidde lik 1500 mm. Toleranseverdiene
er + 3 mm og - 3 mm.


*Sporspillet er klaringen mellom hjulsettet og sporet og er dermed den
avstand hjulsettet kan bevege seg lateralt. Denne avstanden er ikke den
samme som avstanden mellom sporvidde og flensvidde.


*Andre viktige parametre for hjulet er flenstykkelse, flenshøyde og det
såkalte q<sub>R</sub>
målet.



q<sub>R</sub>
måletdefineres som horisontal avstand målt fra et punkt i en høyde på 2
mm fra underkant hjulflenstil et punkt som er 10 mm over hjulbanen ved
løpesirkelen. Det vises til figur 2.47.



[[Fil:Image137.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.47 Definisjon av q<sub>R</sub>
- målet.</caption>]]




Ved Jernbaneverket skal q<sub>R</sub>
ikke underskride 6,5 mm. Ved en lavere verdi vil
innvendig side av flensen bli meget bratt. Dette øker faren for avsporing.

=== Hjulets konisitet ===


Det er nevnt at hjulets løpebane er konisk formet.

Årsaken til dette er at konisiteten gir en styremulighet for hjulsatsen i sporet på
rett linje og i kurver. I den etterfølgende betraktning skal det antas at hjulenes
hjulbaner har en rak konisk form.



[[Fil:Image138.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.48 Konisitet for hjulene i et hjulsats.</caption>]]







Figur 2.48 viser kontaktpunktene mellom hjulene til et hjulsett og skinnene.
Det er antatt at hjulsettet er sentrert. Dersom hjulsettet beveger seg lateralt
mot høyre på grunn av klaringen, vil rulleradius til det høyre hjulet, r<sub>H</sub>
, bli
større. Likeledes vil rulleradius til det venstre hjulet, r
<sub>V</sub>
, bli mindre.

Dersom hjulsettet derimot beveger seg mot venstre, vil r<sub>V</sub>
bli større og r<sub>H</sub>
vil
anta en lavere verdi.

Denne differansen mellom størrelsen på de 2 hjulradiene til hjulene er en
meget viktig parameter for å kunne beskrive hjulsettets bevegelser.
Under antakelse av at hjulets hjulbane er ideelt konisk utformet, kan følgende
enkle matematiske sammenhenger iht. betegnelser i figur 32 utledes ved
lateral bevegelse av hjulparet mot høyre:


{|width="100%"
|-
|<center><math> r_V = r_0 - \lambda \cdot y </math></center>  || align="right" | (2.90)
|}


 {|width="100%"
|-
|<center><math> r_H = r_0 + \lambda \cdot y </math></center>  || align="right" | (2.91)
|}


Her betyr:


:r<sub>V</sub> er rulleradius til det venstre hjulet i kontaktpunktet med skinne

:r<sub>H</sub> er rulleradius til det høyre hjulet i kontaktpunktet med skinne

:r<sub>0</sub> er midlere rulleradius til hjulet

:λ er hjulbanens konisitet eller helning

:y er lateral forskyvning av hjulsettet



For et konisk hjulsett er verdien av λ gitt ved vinkelen til det koniske
kjegleutsnittet. For l lik 0,05 er konisiteten eller helningen til hjulbanen med
horisontalen lik 1 : 20. Tilsvarende er for λ lik 0,025 konisiteten til hjulbanen lik
1 : 40.

Imidlertid i praksis er variasjonen eller endringen i hjulradius for hvert hjul en
meget kompleks funksjon. Viktige parametre er hjulets og sporets geometri.
Dette har sammenheng med at hjul med rak konisitet i hjulbanen etter hvert vil
bli utsatt for slitasje i hjulbanen. Det kan danne seg en dobbelflens som vist i
figur 2.49. Et annet fenomen er dannelse av en falsk flens. Et slikt slitasjeprofil vil kunne oppstå relativt hurtig, bl.a. på grunn av bremsing. Men når det først
har oppstått, vil profilet være ganske stabilt og det opptrer da som et
slitasjetilpasset profil.

Både dobbelflens og falsk flens vil i varierende grad føre til tvangsstyring av
hjulsettet.



[[Fil:Image141.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.49 Slitt profil i hjulbane med dannelse av dobbel flens og falsk flens.</caption>]]

=== Kontaktpunktsgeometri ===


Mellom hjul og skinne dannes en kontaktflate. Dersom normalkraften i
kontaktflaten går mot null, vil kontaktflaten bare bli et punkt. Dette punktet
kalles kontaktpunktet.

Den geometriske formen på kontaktflaten mellom hjulbane og skinnehode er
normalt elipseformet.

Kontaktellipsens størrelse kan beregnes ved hjelp av Hertz’ kontaktteori.
Kontaktellipsens flateinnhold er ca. 1 - 2 cm<sup>2</sup>. Dette er illustrert i figur 2.50.








[[Fil:Image142.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.50 Kontaktellipsens flate er normalt 1 - 2 cm<sup>2</sup></.</caption>]]











Dersom det dannes kun ett kontaktpunkt mellom hjul og skinne, råder
ettpunktskontakt. Det vises til figur 2.51.




[[Fil:Image143.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.51 Ettpunktskontakt mellom hjul og skinne.</caption>]]






2 kontaktpunkter mellom hjul og skinne betegnes topunktskontakt. Dette er
illustrert i figur  2.52.




[[Fil:Image144.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.52 Topunktskontakt.</caption>]]







Det skal bemerkes at for et hjul med slitasjetilpasset hjulbane på en slitt
skinne forflyttes kontaktpunktet som regel kontinuerlig mot hjulflensen når
hjulet forskyves lateralt i forhold til skinnen.

=== Ekvivalent konisitet ===


Når et hjul forskyves lateralt i forhold til skinnen, medfører dette en endring av
flere parametre som har betydning for kontaktpunktet mellom hjul og skinne.

Den laterale forskyvning til hjulsettet betegnes y. Flere parametre vil være
avhengig av denne bevegelsen. Det innføres:

:r<sub>0</sub> er hjulradius i løpesirkelen

:Δr er økning i hjulradius

:γ er kontaktpunktsvinkelen

:ΔZ<sub>H</sub> er hjulløftet

:Δy er sideforskyvning av kontaktpunktet hjul – skinne, denne defineres som positiv når hjulets flens nærmer seg skinnen


Figur 2.53 viser definisjonen av disse parametrene.




[[Fil:Image145.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.53 Definisjon av parametre i kontaktpunktet hjul/skinne.</caption>]]








Med bakgrunn i ovennevnte vil det for en gitt hjul/skinne kombinasjon dannes
de tre kontaktpunktsfunksjonene:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta r = f_1 ( \Delta y ) </math></center>  || align="right" | (2.92)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> \gamma = f_2 ( \Delta y ) </math></center>  || align="right" | (2.93)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Z_1 = f_3 ( \Delta y ) </math></center>  || align="right" | (2.94)
|}



Med effektiv konisitet for et hjul menes kvotienten mellom økning i rulleradius
og den laterale forskyvning mellom hjul og skinne:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \lambda_{EFF.} = {\Delta r \over \Delta y} </math></center>  || align="right" | (2.95)
|}


Oftest er det imidlertid den effektive konisiteten for et hjulsett som er av
interesse. Denne konisiteten uttrykkes som kvotienten mellom den halve
forskjellen i rulleradius mellom de 2 hjulene og den laterale forskyvning
mellom hjul og skinne:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \lambda_{EFF.} = {\Delta r_L - \Delta r_R \over \ 2 \cdot \Delta y} = { r_L - r_R \over \ 2 \cdot \Delta y} </math></center>  || align="right" | (2.96)
|}


Det vises til figur 2.54.




[[Fil:Image151.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.54 Ved en sideforskyvning av hjulsettet endres hjulenes rulleradius.</caption>]]








Dersom hjulbanene til de 2 hjulene har den samme konisitet(rak konus), er
den effektive konisitet identisk med konusvinkelen dvs. kontaktpunktsvinkelen.
For dette tilfelle gjelder:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta r = \gamma_0 \cdot \Delta y </math></center>  || align="right" | (2.97)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> \gamma = \gamma_0 </math></center>  || align="right" | (2.98)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Z_H = \gamma_0 \cdot \Delta y </math></center>  || align="right" | (2.99)
|}


Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta r = \Delta Z_H </math></center>  || align="right" | (2.100)
|}

Det vises til figur 2.55.



[[Fil:Image156.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.55 Effektiv konisitet ved rett konus.</caption>]]






Det framgår av ovennevnte at med et slitt profil vil den aktuelle konisitet være
avhengig av formen på skinnehodet og hjulbanen samt slitasje på øvrige
komponenter. Sporvidde og skinnehelning har også innflytelse.

Uttrykket (r<sub>L</sub>-r<sub>R</sub>) gjenspeiler den øyeblikkelige differanse i rulleradius til
hjulbanene for et hjulsett. I praksis er denne differansen en ikke-lineær
funksjon av den laterale forskyvning Δy av hjulsettet mht. senterstillingen.

Et diagram som beskriver differansen i rulleradiusuttrykt ved (r<sub>V</sub> - r<sub>H</sub>) i forhold
til den laterale bevegelse Dy av hjulsettet kan opptegnes. Et eksempel er vist i
figur 2.56.





[[Fil:Image157.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.56 Ekvivalent konisitet.</caption>]]









Det framgår at funksjonen ikke beskriver en rett linje. For å oppnå en
“ ekvivalent konisitet” vil det være nødvendig å trekke en rett linje gjennom den
ikke-lineære grafen for best mulig tilpassing. Dette kan gjøres ved å benytte
en veiet funksjon som tar hensyn til den tiden som hjulsettet bruker for hver
verdi av den laterale posisjon hjulsettet har. Den mest normale veide funksjon
er normalfordelingsfunksjonen sentrert om sporets senterlinje og med et
standardavvik lik 2,5 mm. Ved å bruke en slik veiet funksjon kan den best
tilpassede rette linje for å beskrive den ekvivalente konisitet uttrykkes ved:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \lambda_{EFF.}= {1 \over 2}\cdot \int {{N( \Delta y )\cdot ( r_L - r_R )} \over \Delta y } d( \Delta y ) </math></center>  || align="right" | (2.101)
|}


N representerer normalfordelingsfunksjonen mht. hyppighet av den enkelte
laterale forskyvning ved en bestemt verdi av differanse i rulleradius.

Når hjulsettet gjennomløper en kurve, vil de 2 hjulene ha forskjellig distanse 
tilbakelegge. Dette fordi den ytre skinnestrengen er lengre enn den indre
skinnestrengen i kurven. Dersom differansen i rulleradius til de 2 hjulene
forholder seg til differansen i lengde til skinnestrengene, så vil hjulsettet
gjennomløpe kurven på en perfekt måte. Dette er illustrert i figur 2.57.




[[Fil:Image159.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.57 Gjennomløp av hjulsett i kurve i nøytrallinjen.</caption>]]









Hjulsettets laterale posisjon i en riktig stilling i kurven kan uttrykkes ved
følgende formel:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {R + l_0 \over r_R}= {R - l_0 \over r_L} </math></center>  || align="right" | (2.102)
|}


Her betyr:


:r<sub>V</sub> = rulleradius til det venstre hjulet

:R = kurvens radius

:l<sub>0</sub>= halv sporavstand

:r<sub>H</sub> = rulleradius til det høyre hjulet


Dersom hjulbanene til hjulene er teoretisk formet med riktig konisitet, kan
beliggenheten til den nøytrale linjen i kurven beregnes mht. forskyvning fra
spormidt:


{|width="100%"
|-
|<center><math> y_e = {r_0 \cdot l_0 \over \lambda \cdot R} </math></center>  || align="right" | (2.103)
|}


Her betyr:

r<sub>0</sub>= sentersirkel i hjulbanen til hjulet

l = konisitet til hjulene


Kontaktpunktvinkelen er allerede nevnt. Størrelsen på kontaktpunktsvinkelen
er meget viktig da kraften normalt på kontaktpunktet gir opphav til en lateral
komponent. Kraften normalt på kontaktpunktet skal bære vekten av det
rullende materiell som framføres. Dersom hjulsettet har hjul som er teoretisk
konisk utformet, så vil konisiteten til hjulet i kontaktpunktet være den samme
som kontaktpunktsvinkelen. Dette gjelder under forutsetning av at flenskontakt
blir unngått. For et profilert hjul vil den opptredende kontaktpunktsvinkelen d
variere etter som hjulsettet beveger seg langs skinnene. På samme måte som
en differanse i rulleradiustil hjulene i et hjulpar oppstår, vil det oppstå en
differanse i størrelsen på kontaktpunktsvinkelen til de samme hjulene. Denne
differansen kan uttrykkes ved


{|width="100%"
|-
|<center><math> (\gamma_R -\gamma_L) </math></center>  || align="right" | (2.104)
|}


Denne differansen i kontaktpunktsvinkelenkan beregnes og en lineær
kontaktpunktsvinkel som parameter kan bestemmes relatert til (γ<sub>R</sub> - γ<sub>L</sub>) som
funksjon av den laterale forskyvning y:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \epsilon = l_0 \cdot {(\gamma_R -\gamma_L)\over 2y} </math></center>  || align="right" | (2.105)
|}


Dette er antydet i figur 2.58.




[[Fil:Image164.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.58 Definisjon av kontaktpunktsvinkel.</caption>]]








Det er allerede nevnt at hjulbaner på hjul med rak konus etter hvert vil
forandre form på grunn av slitasje. For små sideforskyvninger mellom hjul og
skinne kan hjulflaten og skinneflaten i området for det nominelle
kontaktpunktet med en viss tilnærming anses å ha konstante krumningsradier
i tverrplanet. Det forutsettes videre at kontaktpunktsvinkelen i normal stilling
ved forskyvning y=0 er λ=γ<sub>0</sub>.


Under forutsetninger av små laterale forskyvninger kan den effektive
konisitetenberegnes iht.:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \lambda_{EFF.} = \gamma_0 \cdot {r_{TH} \over r_{TH} - r_{TR}} </math></center>  || align="right" | (2.106)
|}


Her betyr:

:r<sub>TH</sub> = krummningsradius til hjulbanen

:r<sub>TR</sub> = krummningsradius til skinnehodet





[[Fil:Image166.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.59 Effektiv konisitet ved små forskyvninger.</caption>]]









Det kan av ovennevnte formel avleses at den effektive konisitet kan bli meget
stor dersom hjulbanens og skinnehodets krummningsradier er tilnærmet like
store. Ved oppstått slitasje i hjulbanen til hjulet kommer derfor den effektive
konisiteten til å øke.

Den effektive konisitet kommer også til å bli stor når sporspillet er lite i
normalstilling til hjulet. Dette henger sammen med at Kontaktpunktvinkelen g 0
blir høy. Det vises til figur 2.59.

I ovenliggende formel ble det forutsatt at krummningsradiene for hjulbanen til
hjulet og til skinnehodet i tverrplanet var konstant. Dette har tilnærmet
gyldighet for små bevegelser av hjulsettet i lateral retning i området rundt
normalstillingen, dvs. i området + 2 mm til - 2 mm.

I praksis må størrelsene Δr, γ og ΔZ<sub>H</sub> beregnes med numeriske metoder. For
ikke-lineære funksjoner kan benyttes metoden som tar i bruk
normalfordelingsfunksjonen som veid funksjon. Det vises til foregående
redegjørelse.

Det kan konkluderes med at ved lite sporspill dvs. trangt spor kan den
effektive konisiteten bli meget høy. Spesielt gjelder dette når det samtidig er
full tykkelse av hjulflensen på begge hjulene.

Spørsmålet blir hvor stor bør konisiteten være. Det er naturligvis vanskelig å
konstruere et løpeverk som utøver gode løpeegenskaper under alle forhold.
Normal konstruksjonspraksis er at det rullende materiell skal klare en effektiv
konisitet i området


0,05 ≤ λ<sub>EFF.</sub> ≤ 0,35.


Dette gjelder for framføring av rullende materiell med høyere hastigheter.
For lavere hastigheter bør kanskje gjelde λ<sub>EFF.</sub> ≤ 0,50.

=== Hjulparets bevegelse i sporet ===


==== Rett linje ====


Et hjulsett med hjul som har teoretisk riktig konisitet mht. hjulbanen, beveger
seg på rett linje. På grunn av klaringen i sporet (sporspillet) vil hjulet bli
forskjøvet lateralt. Denne laterale bevegelsen vil bli møtt eller motvirket av en
kraft som gjør at hjulsettet beveger seg mot den andre siden. Det oppstår en
periodisk bevegelse, en såkalt sinusbevegelse. Denne pendlingen av
hjulsettet er beskrevet teoretisk av Klingel i 1883 og betegnes derfor som
Klingels bevegelse. I figur 2.60er hjulsettet modifisert og følgende parametre
inngår i den matematiske formuleringen:


*   λ eller γ = konisitet(helning) til hjulbanen
*   r = radius av hjulbanens sirkel i senter
*   R = radius i sinuskurven til den periodiske bevegelse på rett linje
*  s = sporvidde
*   y = lateral forskyvning av hjulsettet fra senter
*   v = hastighet
*  x = distanse som tilbakelegges

I en teoretisk riktig bevegelse vil hjulsettet bli forskjøvet lateralt over en
distanse y med utgangspunkt i senter til hjulbanens løpesirkel. Dette på grunn
av rullingen til hjulsettet ved framføring. Videre vil differansen i rulleradius til
hjulsettet være 2yγ .


Det kan utledes følgende matematiske sammenhenger:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta r = (r_1 - r_2)= (r + \gamma y)- (r - \gamma y)= 2 \gamma y </math></center>  || align="right" | (2.107)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> {{\left( R + {s \over 2}\right)}\over {\left( R - {s \over 2}\right)}} =  {{\left( r + \gamma y \right)}\over {\left(  r - \gamma y \right)}} </math></center>  || align="right" | (2.108)
|}




[[Fil:Image169.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.60 Differanse i rulleradius mht. lateral bevegelse til hjulsettet.</caption>]]






Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \left( R + {s \over 2}\right)\times \left(  r - \gamma y \right)= \left( R - {s \over 2}\right)\times \left( r + \gamma y \right) </math></center>  || align="right" | (2.109)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> R_r -R \gamma y + r \cdot \left( {s \over2} \right) - \gamma r \cdot \left( {s \over 2} \right)  = R_r + R \gamma y - r \cdot \left( {s \over2} \right) - \gamma r \cdot \left( {s \over 2} \right) </math></center>  || align="right" | (2.110)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> R \gamma y = r \cdot \left( {s \over2} \right) </math></center>  || align="right" | (2.111)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math> 2R \gamma y=sr= \Delta r \cdot R = (r_1 - r_2) \cdot R   </math></center>  || align="right" | (2.112)
|}


Med disse 4 utrykkene kan følgende sammenhenger utledes:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \gamma = {1 \over 2 } \cdot {r_1 -r_2 \over y} = \gamma_{EFF.}       </math></center>  || align="right" | (2.113)
|}


som er definisjon av ekvivalent konisitet.


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta  r = 2 \gamma y = {sr \over R }      </math></center>  || align="right" | (2.114)
|}


Det er påpekt at den hjulsettet følger en tilnærmet sinusbevegelse med en
radius R på grunn av klaringen eller sporspillet når det beveger seg på ret
linje. Det må være kjent fra mekanikken at et element inntar en form ved
sentrisk belastning på grunn av trykkrefter som kan beskrives ved:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \ddot y = - {1 \over R }      </math></center>  || align="right" | (2.115)
|}



Dette betyr at den annen deriverte av en funksjon beskriver krumningen til
elementet i et x-y koordinatsystem ved sentrisk belastning av elementet. Det
vises til figur 2.61.
Denne relasjonen kan overføres til den tilnærmede sinusbevegelse til et
hjulsett som på grunn av hjulbanenes konisitet beveger seg langs sporet på
en rett linje.




[[Fil:Image177.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.61 Krumning av et element ved sentrisk belastning.</caption>]]








Det kan dermed utledes:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  2 \gamma y R = sr      </math></center>  || align="right" | (2.116)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  2 \gamma y R - sr = 0      </math></center>  || align="right" | (2.117)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  2 \gamma y  - {sr \over R} = 0      </math></center>  || align="right" | (2.118)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  2 \gamma y  - sr \cdot ( - \ddot y ) = 0      </math></center>  || align="right" | (2.119)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  2 \gamma y  + sr  \ddot y  = 0      </math></center>  || align="right" | (2.120)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>   \ddot y + 2 { \gamma \over rs} \cdot y  = 0      </math></center>  || align="right" | (2.121)
|}


Denne differensiallikningen har en generell løsning som kan skrives på
formen:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    y  = A \cdot \cos  \alpha x + B \cdot sin  \alpha x     </math></center>  || align="right" | (2.122)
|}


α kan beskrives ved uttrykket:



{|width="100%"
|-
|<center><math>    \alpha = \sqrt { 2 \cdot \gamma \over rs}    </math></center>  || align="right" | (2.123)
|}



For y(x = 0) = 0, blir løsningen:



{|width="100%"
|-
|<center><math>    y = y_0 \cdot \sin 2 \pi {x \over L }      </math></center>  || align="right" | (2.124)
|}


Her betyr:

:y<sub>0</sub> = amplitude av den lateral forskyvning av hjulsettet

:L = bølgelengde i den periodiske sinusbevegelse på rett linje


Den kinematiske bølgelengde L er vist i figurene 2.62 og 2.63 og beskrives
ved formelen:


{|width="100%"
|-
|<center><math> L =  2 \pi \sqrt { rs \over 2 \gamma}      </math></center>  || align="right" | (2.125)
|}


[[Fil:Image188.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.62 Bølgelengde av bevegelsen til et hjulsett på rett linje.</caption>]]







[[Fil:Image189.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.63 Teoretisk forløp av den laterale bevegelse av et hjulsett hvor
bølgelengde L, maksimal amplitude y0 og sporspillet er angitt.</caption>]]






Den maksimale laterale akselerasjon uttrykkes ved:  



{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot y_{max} =  4 \pi^2 y_0 \cdot { v^2 \over L^2}  </math></center>  || align="right" | (2.126)
|}


Frekvensen til den laterale akselerasjon:



{|width="100%"
|-
|<center><math> f =   {v \over L}  </math></center>  || align="right" | (2.127)
|}


Dersom denne frekvensen sammenfaller med en av resonansfrekvensene til
det rullende materiell, vil vognen bli ustabil ved framføring. Den laterale
akselrasjonen er et mål for størrelsen på de laterale krefter. Det framgår at
den laterale kraften vil øke ved større hastigheter og/eller ved mindre
bølgelengder, dvs. ved større konisiteter. Det framgår også at størrelsen på
bølgelengden er uavhengig av hastigheten. Parametre som bestemmer
bølgelengdens størrelse, er radius i senter til hjulbane, sporvidde og konisitet.
En konisitet lik 1 : 40 vil gi en større bølgelengde og en lavere lateral
akselerasjon enn en konisitet lik 1 : 20 ved samme hastighet. Den progressive
økende konisitet i tilfellet av slitte profiler på hjulbane og skinnehode vil
forårsake kortere bølgelengder og økende akselerasjoner.

==== ”Hunting” ====



Det er utledet at bevegelsesligningen til Klingel kan skrives på formen:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    y = y_0 \cdot \sin 2 \pi {x \over L }      </math></center>  || align="right" | (2.128)
|}


Det forutsettes at y = 0 ved stedet x = 0, dvs. der hvor bevegelsen til hjulsettet
starter.


Størrelsen på amplituden y0er en funksjon av sporets kvalitet mht.
uregelmessigheter (laterale sporfeil), dynamisk oppførsel av vognmateriellet
og hastigheten til det rullende materiell. Generelt på grunn av glidning vil y0
øke som funksjon av voksende hastighet inntil den laterale forskyvning antar
halve verdien av sporspillet (flangeway clearance). Hjulflensen vil da støte mot
innsiden av skinnehodet og hjulsettet vil “ bykse” eller “ sprette” tilbake. Dette
medfører at den laterale bevegelse vil innta en helt annen karakter og denne
bevegelsen er kjent som hunting. Dette er illustrert i figur 2.64.




[[Fil:Image193.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.64 Bevegelsesmønster til et hjulsett som utsettes for hunting.</caption>]]







Bevegelsen til hjulsettet skifter fra en harmonisk sinusbevegelse til en form for
sikksakk bevegelse. Bølgelengden blir kortere og frekvensen til den laterale
akselerasjonen uttrykt ved hastighet over bølgelengde(v/L) øker. Til slutt kan
resonans inntreffe. Dette er illustrert i figur  2.65. Boggien eller hjulsettet må
derfor konstrueres på en slik måte at løpeegenskapene blir stabile. Parametre
som må vies oppmerksomhet, er konisitet og sporspillet.



[[Fil:Image194.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.65 Økning i amplitude og frekvens med hastighet og utvikling av
ustabilitet.</caption>]]

==== Slitte hjulprofiler ====

Et absolutt perfekt konisk hjulprofil vil være ustabilt dersom bare formen
betraktes. Men under påvirkning av slitasje vil profilet anta en form som gjør
profilet stabilt. I tillegg vil de teoretisk riktige hjulprofilene ha den ulempe at en
lateral bevegelse på grunn av 2-punkt kontakt, vil føre til støtbevegelse.
Dersom det antas at profilet i kontaktpunktet mellom skinnehodet og hjulbane
er sirkulært, så kan det utledes at ved en lateral forskyvning y til hjulsettet mht.
sporet vil kontaktpunktet på skinnehodet overføres over en distanse:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    \Delta s = {\rho_{SKINNE} \over \rho_{HJUL} - \rho_{SKINNE} } \cdot y   </math></center>  || align="right" | (2.129)
|}


Her betyr:


:Δs = forskyvning av kontaktpunktet på skinne på grunn av 
forskyvning av hjulsettet

:y = forskyvning av hjulsettet

:r<sub>HJUL</sub> = krummningsradius til hjulbanen

:r<sub>SKINNE</sub> =krummningsradius til skinnehodet


Videre kan det utledes:




{|width="100%"
|-
|<center><math>    \Delta r = \gamma_0 {\rho_{SKINNE} \over \rho_{HJUL} - \rho_{SKINNE} } \cdot 2y = \gamma_E \cdot 2y  </math></center>  || align="right" | (2.130)
|}


Det vises til figur 2.66 og figur 2.67.


[[Fil:Image197.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.66 Forskyvning av kontaktpunktet på skinnehodet på grunn av
forskyvning av hjulsettet.</caption>]]





[[Fil:Image198.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.67 ?r-kurve for et teoretisk S 1002 profil i kombinasjon med UIC54
skinne, skinnehelning1 : 40 og sporvidde 1434 mm.</caption>]]





Med koniske profil er radius uendelig og kontaktpunktet på skinnehodet
beveger seg derfor ikke. Dette medfører at slitasje på skinnehodet blir mye
konsentrert på et punkt. Et meget interessant punkt opptrer dersom radiene på
hjulbanen og skinnen nesten blir den samme. Dersom det bare er en liten
lateral forskyvning på akselen, så vil kontaktpunktet hoppe. Dette fører til
mangel på kjørekomfort. I kurven for Dr manifesterer seg dette i et hopp.

Praktiske forsøk gjort i ORE Committee C 116har vist at over en gitt
tidsperiode så stabiliserer seg slitasjen ved ekvivalent konisitet på ca. 0,2 til
0,3. Under hensyntagen til stabil løpsdynamikk må den ekvivalente konisitet
være mindre 0,4, i alle fall ved høyere hastigheter. Og for å garantere
sentereffekten må den ekvivalent konisitet være større enn 0,1. Figur gir en
oversikt over verdier av den ekvivalente konisitet for profilet S 1002 i
kombinasjon med skinne av type UIC60 for forskjellige sporvidder og
skinnehelninger. Med unntakelse av skinnehelning1 : 20 øker konisiteten når
sporvidden minker. Særlig ved stor skinnehelning øker konisiteten ved
minkende sporvidde. Med skinnehelning 1 : 20 er konisiteten meget liten og
nærmest uavhengig av sporvidden i området 1428 - 1438 mm.

Forskyvningene i kontaktpunktet på skinnehodet for gitte verdier er vist i figur
2.68. Videre er de illustrert i figur  2.69. Det vises at ved skinnehelning1 : 20
så arbeider ikke prinsippet med slitte profiler. Med skinnehelning 1 : 40 forblir
hjulprofilene stabile skinnene slites lineært dersom sporvidden er mellom 1432
mm og 1436 mm.



[[Fil:Image199.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.68 Ekvivalent konisitet for S 1002 på UIC60.</caption>]]





[[Fil:Image200.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.69 Bevegelse av hjul-skinne kontakt for S 1002 på UIC60.</caption>]]

=== Anløpsvinkler ===


Det skal beskrives bevegelsesforløpet i en kurve for en boggiramme og for to
akslede vogner.

==== Boggiramme ====


Anløpsvinkler opptrer ved gjennomkjøring i kurver med små radier. Under
forutsetning av en stiv konstruert boggi holdes akslene parallelle. Boggien vil
derfor forsøke å kjøre rett fram. Hjulet i fremre aksel vil da gjennomløpe
sirkelkurven med flenskontakt mot ytre skinnestreng. Skinnestrengen presser
hjulet tilbake og tvinger dermed boggien til å følge sporets krumning. Det
oppstår en vinkel som defineres som anløpsvinkel. Det vises til figur 2.70.
Anløpsvinkelen er vinkelen mellom skinnestrengen og hjulflaten. Denne
vinkelen er lik vinkelen mellom hjulakselen og kurvens radius. Anløpsvinkelen
angir forskjellen mellom vognakselens virkelige stilling og en teoretisk
radialstilling. Størrelsen på anløpsvinkelen er avhengig av parametrene
kurveradius og avstand mellom akslene i en boggie iht. følgende formel:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    \alpha = {l \over R } </math></center>  || align="right" | (2.131)
|}



Her betyr:

:α= anløpsvinkel til fremre aksel i boggi mot skinnestreng
:l = avstand mellom akslene
:R = radius i kurve





Formelen gir vinkelen i radianer. Omregning til grader og minutter blir:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    1^\circ = {2 \pi \over 360^\circ } = 0,0174rad </math></center>  || align="right" | (2.132)
|}


eller


{|width="100%"
|-
|<center><math>    1min. = {0,0174 \over 60 } = 0,00029rad </math></center>  || align="right" | (2.133)
|}



[[Fil:Image204.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.70 Anløpsvinkel til fremre aksel i en boggi.</caption>]]







Dersom avstanden mellom akslene i en boggier f.eks. 2500 mm (B5 -
materiell) og kurveradiuser 300 m, beregnes anløpsvinkelen til :


{|width="100%"
|-
|<center><math>    \alpha = {l \over R} { 1 \over 0,00029} </math></center>  || align="right" | (2.134)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math>    \alpha = {2500 \over 300000} \left( { 1 \over 0,00029 } \right) = 28,7 min. </math></center>  || align="right" | (2.135)
|}



Dette under forutsetning av stiv boggiramme med aksler som holdes nøyaktig
parallelle. Den bakre aksel i boggiløper gjennom kurven uten flenskontakt og
føres dermed radielt.

Det er utviklet boggikonstruksjoner hvor oppleggene for hjulsettene er bygget
elastiske og som dermed muliggjør radiell innstilling av hjulsettene.

Hjulsatsene er konstruert slik at det alltid er et sporspill ved framføring. Den
forreste aksel i en boggikonstruksjon med stiv ramme vil da anta en
anløpsvinkel som beregnes etter følgende formel:




{|width="100%"
|-
|<center><math>    \alpha = {l \over R} + {f \over l} </math></center>  || align="right" | (2.136)
|}


Her betyr f sporspillet. Ved økende sporviddeblir anløpsvinkelen dermed
større.



En stor anløpsvinkelmedvirker til økt slitasje på skinner og hjul samt til økt
energiforbruk ved framføring av det rullende materiell. Det er derfor av
interesse å holde anløpsvinkelen så lav som mulig.

==== To-akselede vogner ====


Dersom to-akslede vogner(godsvogner) ble bygget på en tilsvarende måte
som boggier med stiv ramme (begge aksler holdes nøyaktig parallelle), ville
anløpsvinkelen bli for stor. Dette fordi to-akslede vogner har en avstand
mellom akslene opp til 10,0 m. Disse vognene blir bygget på en slik måte at
akslene er svingbare i forhold til vognkassen. Hjulsatsene er derfor i stand til å
dreie seg litt fra midtstillingen som de inntar på rettlinjet spor. Men akslene
oppnår likevel ikke den radiale innstillingen. Det innstiller seg en anløpsvinkel
som vist i figur 2.71.


[[Fil:Image208.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.71 Innstilling av hjulsats for to-akslet vogn.</caption>]]





Den bakre aksel vil som oftest rulle gjennom kurven uten flenskontakt med
skinnene. Men hjul nr. 4 på bakre aksel av en vogn med stor akselavstand kan
ved lave hastigheter i kurver med små radier få flenskontakt med den indre
skinnestreng.

Hjulsats i kurver

=== Overskriftstekst ===


Det skal betraktes 2 tilstander:


*Ideell gjennomløping av hjulsett i kurve

*Kinematisk rullebevegelse



 
==== Ideell gjennomløping av hjulsett i kurver ====

Betingelse for radiell innstilling av ytre hjul i første hjulsats skal diskuteres. Det
vises til figur 2.72.



[[Fil:Image209.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.72 Boggi ved gjennomløp i kurve.</caption>]]






Følgende begreper inngår:


:R = radius i sirkelkurve

:S = avstand mellom hjulflensene i hjulsettet

:a = akselavstand i sporets senterlinje

:Δx = avstand for radiell innstilling




Følgende matematiske utledning kan gjøres:



{|width="100%"
|-
|<center><math>    { \Delta x  \over {s \over 2 }} = {{a \over2} \over R} </math></center>  || align="right" | (2.137)
|}


Dette gir mht. ΔX:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   \Delta x   = {as \over 4R} </math></center>  || align="right" | (2.138)
|}


Uttrykket viser at jo større a er, jo større må Δx være for at hjulsettet skal
gjennomløpe kurven radielt.


Vinkelen kan beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   \Psi = \arctan {a \over 2R_1} </math></center>  || align="right" | (2.139)
|}


I figurene 2.73 og 2.65 er vist diagrammene mht. berøringsgeometrien for
hjul/skinne i et gjennomløp i en kurve. Øverste figur (figur2.64) angir
nødvendig Δx som funksjon av radius R ved forskjellig avstand mellom
akslene. Nederste figur (figur 2.74) viser vinkel som funksjon av radius og
avstand a.




[[Fil:Image213.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.73 ?x som funksjon av kurveradius ved varierende akselavstand.</caption>]]







[[Fil:Image214.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.74 ? som funksjon av kurveradius ved varierende akselavstand.</caption>]]

==== Kinematisk rullebetingelse i kurveradier ====



Det ytre hjulet må følge en lengre vei enn det hjulet som går på innerstrengen.
Dette betyr at radius til løpesirkel til det ytre hjulet må være større enn radius
til løpesirkel til det indre hjulet. Forskjellen betegnes Dr. Dette er illustrert i figur
2.75 under.


[[Fil:Image215.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.75 Differanse i rulleradius ved gjennomløp i kurve.</caption>]]







Følgende betegnelser gjelder:


:R = radius i sirkelkurve
:s = avstand mellom hjulflensene
:r = radius i løpesirkel i sentrum av hjulbane
:Δr = differanse i løpesirkel til hjulbanene i hjulsettet
:y = lateral forskyvning av hjulsettet


Det kan utledes følgende matematiske relasjoner:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   {{\left( R + {s \over 2} \right)} \over {\left( R - {s \over 2} \right)}}  = {{\left( r + \gamma y  \right)} \over {\left( r - \gamma y  \right)}} </math></center>  || align="right" | (2.140)
|}


Iht. utledninger utført i kapittel, gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   \Delta r =  {sr \over R} </math></center>  || align="right" | (2.141)
|}


Dvs. nødvendig differanse avtar med økende radius i kurve.


Videre er det tidligere vist følgende relasjon:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   \Delta r =  2 \gamma y </math></center>  || align="right" | (2.142)
|}


Dette viser at det er 2 muligheter til å oppnå tilstrekkelig differanse i
rulleradius: 


*øke konisiteten
*oppnå større verdi av den laterale forskyvning y av hjulsettet ved for eksempel assymetrisk sliping




I figur 2.76er Δr framstilt som funksjon av rs/R ved forskjellige radier i
løpesirkelen.





[[Fil:Image219.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.76 ?r som funksjon av rs/R.</caption>]]

==== Dynamisk stabilitet – gangstabilitet ====

Det vises til foregående kapitler om konisitet og gangdynamikk. Flere
konklusjoner kan trekkes.

Jo større konisiteten blir i forhold til hjulradius og sporvidde, jo mindre blir
bølgelengden i sinusgangen. Jo mindre bølgelengden blir og jo større
hastigheten er, desto høyere blir frekvensen i svingningene og desto kraftigere
blir bevegelsene. Det vises til grunnleggende formler.

Når bevegelsene i svingningene dempes, konkluderes det med at hjulsatsen
har stabil gange eller gangstabilitet. Dette gjelder også for vognen som er
montert på hjulsatsen.

I motsatt tilfelle vil bevegelsens amplitude i svingningene øke inntil det er
hjulflensene som begrenser bevegelsene. Hjulflensene vil da få kontakt med
skinnene. Dette medfører ustabilitet eller ustabil gange.

Et fri hjulsats har ustabil gange ved meget lave hastighet. Teoretisk oppstår
den ustabile gange ved hastighet lik 0. Den hastighet som forårsaker ustabil
gange, benevnes kritisk hastighet.

En vedvarende bevegelse i svingningene i lateral retning hvor hjulflensene til
hjulsatsen får kontakt med skinnene, kan naturligvis ikke aksepteres.
Bevegelsene vil forplante seg opp i selve vognen og gi opphav til kraftige
forstyrrelser. Ofte blir også de laterale kreftene på sporet meget store i et slikt
tilfelle. Dette gjelder særskilt ved høye hastigheter og dersom andre
komponenter i vognen er stivt koplet til hjulsatsen. Spesielt er rammeverket i
boggien utsatt. Ved en slik stiv kopling vil komponentene i vognkonstruksjonen
følge med bevegelsene til hjulsatsen i lateral retning.


Risikoen for ustabilitet øker som regel med høyere hastigheter.
Generelt eksisterer det 2 typer av ustabilitet:

*Ved høy hjulkonisitet blir frekvensene til sinusbevegelsene meget store.
Her virker bl.a. uavfjæret masse i hjulsats og tilkoplet boggirammeverk
destabiliserende. Denne ustabiliteten i hjulsatsen har normalt en
svingningsfrekvens i området 4 – 8 Hz.

*Ved relativt lav hjulkonisitet blir bevegelsene i sinusgangen også meget
lav. Frekvensene ligger i nærheten av egenfrekvensen til vognens
avfjæring, dvs. sekundærfjæringen. Selve vognen samvirker dynamisk på
et meget komplisert måte med løpeverket og løpeverkets naturlige
sinusgang.

Denne ustabiliteten gir ofte mindre kraftige bevegelser enn den høyfrekvente
ustabilitet. Men etter som vognen i høy grad deltar i svingningene, blir ofte
bevegelsene i svingningene i vognen uakseptable høye sammenlignet med de
høye krav som gjelder i dag.


Ustabilitet for en vogn har en svingningsfrekvens på 1 – 2 Hz.

=== Hjulprofil-spor ===

Hjulsatsens viktigste grensemål er angitt i figur 2.77. I figur 2.78er vist
detaljmål av hjulprofilet. Målene i parentes gjelder som ytterste slitasjegrenser.



[[Fil:Image220.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.77 Hjulsatsens hovedmål med slitasjegrenser.</caption>]]







[[Fil:Image221.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.78 Detaljmål av hjulprofilet.</caption>]]





Flenstykkelsen for et enkelt hjul etter slitasje ikke bli mindre enn 22 mm.
Dessuten kreves at summen av flenstykkelsen til begge hjulene i hjulsatsen
ikke må underskride 50 mm. Videre må flenshøyden ikke bli større enn 36
mm. Det kreves også at det såkalte q<sub>R</sub>– målet ikke må underskride
grenseverdien på 6,5 mm. Blir denne verdien underskredet, betyr dette at
hjulflensen er blitt altfor steil. Ved en slik steil hjulflenser det stor fare for at
hjulet klatrer opp mot tungespissene i sporveksler.

Et annet forhold som må vies oppmerksomhet, er dannelse av falsk eller
dobbelflens i hjulbanen.

Overholdelse av disse grensemålene er av stor betydning for sikker framføring
av det rullende materiell i sporet og ved passering av bl.a. sporveksler.
NSB BA benytter et såkalt P8A-B-C hjulprofil i sitt rullende materiell. Dette
hjulprofilet er tilpasset en skinnehelning lik 1 : 20 samt avrundingsradius på
skinnehodet til de skinnetyper (bl.a. S49, S54, UIC60) som benyttes ved
Jernbaneverket.

Hjulprofilene er vist i figurene 2.79, 2.80og 2.81.



[[Fil:Image219.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.76 ?r som funksjon av rs/R.</caption>]]






[[Fil:Image222.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.80 Hjulprofil P8B.</caption>]]






[[Fil:Image223.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.81 Hjulprofil P8C.</caption>]]









Av ovennevnte figurer framgår at hjulprofilene har forskjellig bredde. P8A har
bredde 135 mm, P8B har bredde 140 mm og P8C har bredde 145 mm. For
øvrig er profilene identiske.

For å hindre skjevgang er det fastsatt grensemål mht. tillatt
hjuldiameterdifferanse innen en boggi og mellom boggiene til det rullende
materiell. Disse målene er gitt i regelverket (bl.a. trykk 741.1.2 av juli 1995).
For lokomotiv av type El17 gjelder et grensemål på 3 mm innenfor en boggi og
50 mm mellom boggiene. El17 har hjulprofil P8B.

Normal sporvidde ved Jernbaneverket er 1435 mm. Det er definert
hastighetsavhengige kvalitetsklasser(K0, K1,K2, K3, K4, K5. K0 er den
strengeste kvalitetsklasse og gjelder for framføring av rullende materiell i høye
hastigheter. Det er definert tillatte toleranseverdier for bl.a. normal sporvidde i
hver kvalitetsklasse. Jo høyere kvalitetsklassen er, jo strengere er
toleranseverdiene i avvik. Holder avvikene på de sporgeometriske parametre
seg innenfor de definerte toleranseverdier i den aktuelle kvalitetsklasse,
medvirker dette til en sikker framføring av det rullende materiell.


I det etterfølgende skal beskrives situasjoner hvor avvikene mht. hjulmål og
sporet ikke overholdes. Følgene tilfeller skal diskuteres:


*Stor sporvidde

*Trang sporvidde

*Falsk flens og dobbel flens i hjulbanen

*Konfliktområder i sporvekselen



==== Stor sporvidde ====

I figur 2.82er vist bilde av et hjulprofil av type P8A. Dette profilet beskrives av
hjulflens og avrundinger på innsiden med varierende radius (R13, R100,
R330). Området for R13 sammenfaller med området for R13 på skinnehodet
til profilene S49, S54 og UIC60. Dette betyr at kontaktpunktet hjul/skinne ved
øvrige riktige sporgeometriske forhold (bl.a. skinnehellning 1 : 20) er tilpasset
hverandre. Videre består hjulprofilet av et rett parti på hjulbanen med lengde
10 mm. På den resterende del av hjulbanen er det bygd en konisitet lik 1:10.



[[Fil:Image225.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.82 Hjulprofil P8A med detaljmål.</caption>]]






Det største tillatte avvik i sporviddeer +30 mm som gjelder for klassene K3,
K4 og K5. Dette gir en sporvidde lik 1475 mm. Spørsmålet er hva som skjer
når sporvidden blir større. Dette skal diskuteres.

Det antas at summen av hjulflensene til hjulene i hjulsatsen har minste tillatte
verdi lik 50 mm. Videre antas at det ene hjulet som har flenstykkelse lik 28
mm, har flenskontakt med skinnehodet. Dette kan inntreffe for eksempel ved
gjennomkjøring i kurver for det ytre hjulet og på rett linje for begge hjul på
grunn av sporspillet. Det vises til figur 2.83.



[[Fil:Image226.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.83 Hjulsatsens stilling ved stor sporbredde (1475 mm.</caption>]]







For det andre hjulet med flenstykkelse22 mm, framgår at hjulbanens
berøringspunkt i den horisontale projeksjon på skinnehodet har en lengde på
9 mm. Størrelsen på kontaktflaten vil i virkeligheten bli mindre på grunn av
avrundingsradius på skinnehodet. Det som imidlertid er avgjørende, er at det
er det flate partiet på 10 mm på hjulbanen til dette hjulet som har kontakt med
skinnehodet.

Ved større sporvidde enn 1475 mm vil kontaktpunktet til hjulet med
flenstykkelse lik 22 mm på skinnehodet være konisitetsflaten med helning 1 :
10. Dette forårsaker en for stor differanse i hjulradius for de 2 hjulene i
hjulsatsen. Dr blir med andre ord for stor. Denne økningen i Dr vil kunne føre til
skjevstilling av hjulakselen og medfører dermed en fare for framføring av det
rullende materiell.

Ovenstående er den vesentligste årsak til at maksimal sporvidde er 1475 med
mer i akuttgrense. Akuttgrense medfører at sporvidden må korrigeres
øyeblikkelig.



==== Trang sporvidde ====


I figur 2.84er det vist forholdene for et hjulsett på et spor med minste tillatte
sporvidde i akuttgrense. Sporvidden er 1428 mm. Dersom bredde mellom
innsiden av hjulene er 1363 mm inkludert toleranser (± 3mm), blir sporspillet
bare 5 mm dersom hjulsatsen har nydreide hjul med flenstykkelse30 mm. Et
sporspill på bare 5 mm er altfor lite for å hindre ustabilitet ved framføring av
det rullende materiell. Et for lite sporspill vil også føre til høy ekvivalent
konisitet. Videre blir friksjonskreftene mellom hjul og skinne større. Dette øker
faren for avsporing. Feilen må derfor utbedres raskt.



[[Fil:Image227.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.84 Trang sporviddefører til et for lite sporspill og dermed ustabilitet samt høy konisitet.</caption>]]

==== Falsk flens og dobbel flens ====



Bl.a. på grunn av bremsing med klosser av kunstmateriale kan det dannes
dobbelflens og også en falsk flens på hjulbanen. En slik slitt hjulbane er meget
uheldig da:


*Løpeegenskapene til boggien eller hjulsatsen hindres på grunn av tvangsstyring

*Fare for avsporingøker

*Ugunstig belastning av komponenter i sporet (sporveksel)



Det er av den grunn fastsatt krav om at maksimal slitasjehøyde i hjulbanen
ikke skal overskride 2 mm. Det vises til figur 2.85.


[[Fil:Image228.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.85 Grensemål for slitasjehøyde i hjulbanen.</caption>]]






En hjulbane med dobbelflens i kombinasjon med falsk flens vil kunne belaste
komponenter i sporet ugunstig dersom slitasjehøyden overskrider
grenseverdier.

Spesielt vil deler av krysspartiet som ikke er konstruert for belastning, bli
belastet. Forholdet fører over tid til sprekkdannelser i disse delene. Det vises
til figur 2.86


[[Fil:Image229.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.86 Belastning av del av kryssparti i sporveksel ved dannelse av dobbeltflens i hjulbanen.</caption>]]







Også stokkskinne blir unødvendig slitt ved anliggende tunge der hvor
tungepartiet i sporvekselen skal ta over hele belastningen ved framføring av
det rullende materiell i avvik. Slitasjeforløpet kan bli meget ugunstig på
skinnehodet til stokkskinnen. Dette kan naturligvis ha uheldige konsekvenser
for framføring av materiellet i hovedspor. Det vises til figur 2.87.





[[Fil:Image230.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.87 Slitasje på skinnehodet til stokkskinne.</caption>]]

== LØPEVERKSPRINSIPPER FOR VOGNER ==


I dette avsnittet skal behandles grunnleggende egenskaper mht. løpeverk for
to-akslede vogner og for vogner med boggier.

Det er gjort rede for at en hjulsats bør ha evnen til å løpe gjennom en kurve
uten flenskontakt og med så liten anløpsvinkel som mulig.

Videre må det tilstrebes at det rullende materiell skal framføres i sporet uten at
dette materiellet selv genererer laterale svingninger. En lateral bevegelse i
sporet skal dempes.

Egenskapene til en hjulsatser grunnleggende for framføring i sporet, men den
er i virkeligheten bare en del av det rullende materiell. Et visst antall hjulsatser
skal bære vogn og øvrige komponenter samtidig som de skal styre
vognkassen med de laster vognen inneholder.

Den komponent som har til oppgave å bære og å styre det rullende materiell,
er løpeverket. Løpeverkets deler er hjul og hjulaksler i form av hjulsats, lagring
av aksel i akselboks og dessuten et fjærsystem.


=== To-akslet vogn ===


I sin aller enkleste form består løpeverket av en hjulsats(hjul og hjulaksel)
som er lagret og innspent i vognens hovedrammeverk i selve vognkassen. Det
vises til figur 2.88.


[[Fil:Image231.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.88 Rullende materiell som består av hovedrammeverk med to
direkte lagrede og innspente hjulsatser.</caption>]]







Denne type av rullende materiell er den enkleste i utførelse og har derfor en
del begrensninger.

For det første blir selve lasteevnen begrenset. Av de komponenter
(rammeverk, aksel etc.) som bestemmer den totale vekten til materiellet, blir
gjerne aksellasten dimensjonerende. Denne parameteren fastsetter svært ofte
tillatt last.

For det andre må to-akslede vogner gjøres relativt korte. Selve lengden av
vognen begrenses av den største mulige akselavstand. Dette fordi
akselavstanden blir bestemt ut fra den evnen som den to-akslede vognen har
til å gjennomløpe en kurve. Ved for store akselavstander vil hjulsatsene ikke
kunne vri seg tilstrekkelig i kurver med små radier. Dette vil medføre store
anløpsvinkler. Det blir ingen radiell styring i kurven. Dersom hjulsatsen ved
stor akselavstand skulle innstille seg radielt ved gjennomløp i kurver med små
radier, ville hjulsatsens vridningsvinkel i forhold til vognkassens rammeverk bli
for stor. Denne vridningsvinkelen begrenses på grunn av den stivhet i
innspenningen som alltid må være mellom hjulsats og vognkasse.

For det tredje vil en to-akslet vognlett innta en ustabil gange ved høyere
hastigheter (V > 100 km/h). Dette har sammenheng med at styringen av
hjulsatsen i rammeverket må være myk for å oppnå en tilfredsstillende evne til
gjennomløp i kurver. Hjulsatsene må være svingbare i forhold til vognkassen.
Men et slikt forhold vil lett kunne forårsake ustabilitet i forbindelse med
hjulparets sinusbevegelser ved høyere hastigheter.

En stivere innspenning av hjulparet gir dårlige gangegenskaper ved
gjennomløp i kurver. Dette kan medføre at den store massen av vognkassen
ved stiv forbindelse til hjulparet virker destabiliserende. Dette resulterer i store
sporkrefter.

I tillegg må nevnes at slike typer vogner bare har et fjærnivå. Alt i alt må det
konkluderes med at en to-akslet vogn har relativt mindre bra gangegenskaper.
Akselavstanden begrenses til ca. 10,0 m og hastigheten til ca. 100 km/h.
Det må altså tilstrebes en balansegang mellom myk forbindelse (radielt innstilt
hjulpar) og stiv forbindelse (sikre stabilitet ved høy hastighet på rett spor) for
to-akslede vogner.

=== Vogn med boggier ===


Boggier er oftest i to-akslet utførelse. Det vises til figur 2.89. Hjulsatsene eller
hjulparene er lagret og innspent i et rammeverk på en slik måte at de blir
vridbare i forhold til vognkassen. Da en vogn som regel har 2 boggier, vil det
rullende materiell gjennomløpe kurven på en langt bedre måte enn en to
akslet vogn. Innføring av boggier mht. virkemåte har naturligvis også den
fordel at vognkassen kan gjøres mye lengre.



[[Fil:Image232.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.89 Vogn med boggier.</caption>]]







Det forekommer også boggier med 3 eller flere hjulsatser. I slike
konstruksjoner (boggi med 3 hjulsatser) vil den midte hjulsatsen utøve særlig
store laterale krefter mot sporet med mindre tiltak settes inn. Disse består i å
utstyre opplageret for den midtre akselen med et fjærkonstruksjon.


Det er 2 grunnleggende prinsipper for styring av hjulsatser i rammeverket:


*Stiv styring av hjulsats
*Myk styring av hjulsats hvor hjulsatsen oppnår radiell innstilling i kurvene



Det er velkjent at en fri hjulsats ha ustabil gange ved relativt liten hastighet.
Det er også kjent at stabiliteten kan forbedres og dermed den kritiske
hastigheten økes ved å spenne inn hjulsatsen i et stivt rammeverk. Dette kan
skje på den måten at hjulsatsens frie bevegelser begrenses ved for eksempel
å gi styringen til hjulsatsen et definert spillerom. Eller hjulsatsen kan
innspennes med en kontinuerlig fjær som gir kontinuerlig voksende fjærkraft
ved økende deformasjon.

Ved den ene ytterlighet er altså hjulsatsen helt fri, ved den andre ytterlighet er
hjulsatsen helt innspent i et rammeverk.

I en vogn kan styringen av hjulsatsen verken være helt fri eller helt stiv.
Styringen må ligge mellom disse ytterlighetene.

I figur 2.90er vist en konvensjonell boggi med stiv styring av hjulsatsene for å
oppnå stabil gange.



[[Fil:Image233.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.90 Konvensjonell boggi med stiv gange.</caption>]]







I figur 2.91er vist en boggi med gode løpeegenskaper i en kurve ved radiell
innstilling av hjulene i hjulsatsen.


[[Fil:Image234.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.91 Boggi med myk styring av hjulsatsene.</caption>]]






Dersom hjulsatsene spennes inn i rammeverket, hindres hjulsatsens frie
sinusbevegelse. Samtidig vil evnen til å gjennomløpe kurven hindres i mer
eller mindre grad. Dermed oppstår det kryp og krypkrefter mellom hjul og
skinner. På rett spor vil dette medføre 2 effekter:


*Sinusgangens svingningsbevegelser dempes
*Sinusgangens bølgelengde øker


Det er allerede nevnt at Klingel på 1880 - tallet utviklet de formler som
beskriver hjulsatsens sinusgang på rett linje. Formlene beskriver også
sinusgangen for en boggi med 2 stivt innspente hjulsatser.
For et fritt hjulpar gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   L_0  = 2 \pi \sqrt {b_H r_H \over \lambda} </math></center>  || align="right" | (2.143)
|}


For boggi med stiv akselstyring gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   L  = 2 \pi \sqrt {b_H r_H \over \lambda} \sqrt {1 + \left( {a \over b_H} \right)^2} </math></center>  || align="right" | (2.144)
|}


Her betyr:


:L = bølgelengdefor sinusbevegelse på rett linje 

:b<sub>H</sub>= den halve laterale avstand mellom hjulenes kontaktpunkter

:r<sub>H</sub>= hjulradius

:λ = effektiv konisitet

:a = den halve akselavstand i boggien


Det er tidligere redegjort for at den effektive konisitet kan beregnes etter
formel:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \lambda = {r_{HV} - r_{HH} \over 2 \Delta y}  </math></center>  || align="right" | (2.145)
|}


Sinusbevegelsens bølgelengde L er avhengig av konisiteten i kontaktpunktet
hjul/skinne. Videre er svingningsfrekvensen til sinusbevegelsen en funksjon av
framføringshastigheten til toget.

I figur 2.92er vist sinusbevegelsens frekvens for ulike ekvivalente konisiteter
og dessuten hastighet for et fritt hjulpar ved bruk av ovennevnte formler.
Formlene er tilnærmede spesielt for høyere hastigheter. På grunn av
opptredende krypkrefter blir frekvensen i virkeligheten lavere ved høyere
hastigheter.


Figur 2.93 viser det samme for en stiv boggi.



[[Fil:Image238.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.92 Sinusbevegelsens frekvens som funksjon av effektiv konisitet og hastighet for et fritt hjulpar.</caption>]]







[[Fil:Image239.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.93 Sinusbevegelsens frekvens som funksjon av effektiv konisitet og hastighet.</caption>]]






Det skal belyses egenskaper ved stiv akselstyring i boggien.

En boggi med stiv styring av akslene medfører en større bølgelengde i
sinusbevegelsen og dermed redusert risiko for ustabil gange. Det er også
vektlagt å holde konisiteten mellom hjul og skinne på et lavt nivå av samme
årsak. Den effektive konisitet må da velges til å være i området 0,025 – 0,10.
Det må bemerkes at ved å innføre styreanordninger uten spill har den
effektive konisiteten kunne økes ganske betydelig. Dette betyr effektiv
konisitet opp til 0,3 – 0,5 ved 200 km/h.

Den laterale sekundærfjæren mellom vognkasse og boggi må avstemmes slik
at egenfrekvensen(resonansfrekvensen) ligger under frekvensen til
sinusbevegelsen til boggien ved begynnende ustabilitet. Gjennom et slikt tiltak
blir samvirke mellom vognkassens og boggiens dynamikk minst mulig.

Imidlertid finnes en nedre grense for hvor lavt vognkassens laterale
egenfrekvenser kan legges. Sekundærfjæringen kan selvfølgelig ikke gjøres
så myk at den ikke kan ta opp de sentrifugalkrefter som oppstår ved
gjennomløp i kurver. Det er også av betydning at vognkassens fjæring ikke
oppleves som svaiende da dette kan bevirke tendenser til togsyke.

Den altoverveiende fordel med stiv føring av hjulsatsene i en boggier økt
stabilitet ved høyere hastigheter og at det kan tillates slitte hjulprofil som fører
til høyere konisitet. Dette har naturligvis gyldighet bare på rett linje.

Ulempen med stiv akselføringer naturligvis at evnen til å gjennomløpe kurver
blir mye dårligere. Dette fordi styringen vil føre til flenskontakt med
skinnehodet. Det ytre hjulet i første hjulsats i boggien blir presset med en stor
kraft, den såkalte føringskraft, mot ytterskinne i kurven. Som beskrevet i
kapittel xx dannes det en anløpsvinkel mellom flensen til ytterhjulet og
skinnehodet til ytterstrengen. Dermed vil boggien utøve en kraftig motstand
ved gjennomløp da boggien må ”presse” seg gjennom kurven for å overvinne
friksjonen.

På tørt spor (uten smøring verken på hjulflenseller skinnehodet) kan
motstanden ved framføring bli så stor som 1,0 – 2,0 kN for hver vogn i kurver
med radius 300 – 400 m.

Det bygges dermed opp en energiomsetning som blir omsatt i varme og i
slitasje på hjul og skinner.

Tiltak er naturligvis å smøre sporet i tørt vær. Dette kan skje ved faste
installerte smøreapparater i kurver hvor erfaringsmessig slitasjen er stor. Eller
traksjonsmateriell kan utstyres med smøreapparater. Vanskeligheten består i
å smøre riktig mengde på riktig plass slik at friksjonsforholdene ikke forsvinner
helt. For store smøremengder fører til risiko for sluringog dårlige
bremseforhold.

Vanning av skinnegangen kan også være en løsning.

=== Energiomsetning og slitasje i kontaktpunkt hjul/skinne ===

Slitasje på hjul og skinner opptrer ved framføring av det rullende materiell. En
årsak er ganske sikkert tørt spor som gir høy friksjon. Friksjonen kan i stor
grad elimineres ved flenssmøring eller ved at olje smøres på riktig sted på
overkanten av skinnehodet.


Det eksisterer ulike former for hjulslitasje:

*Flensslitasje 1: flensens tykkelse F<sub>t</sub> blir redusert
*Flensslitasje 2: q<sub>R</sub> målet blir brattere (steilere)
*Slitasje på løpebanen: blir målt gjennom flenshøyden FH
*Urunde hjul: oppstår for eksempel ved eksentrisiteter og ved bruk av bremseklosser


Flere faktorer bidrar til flensslitasje. Ved liten radius i sirkelkurven blir
anløpsvinkelen mellom hjul og skinne større. Dette medfører mer kryp og
dermed større krypkrefter som igjen gir økt slitasje.

Høy friksjon fører også til større krypkrefter og dermed økt slitasje.

Endelig har løpeverkets egenskaper også betydning. Ved stiv styring av
hjulsettet og ved stor akselavstand i for eksempel boggien blir anløpsvinkelen
større. Dermed øker kryp og krypkrefter samt slitasje.

Slitasje av hjulbanen skyldes trykk i kontaktpunktet mellom hjul og skinner i
kombinasjon med normale krypkrefter. Det samme gjelder ved sluring.
Vedvarende bremsing med bremseklosser mot hjulbanen vil også føre til
slitasje på hjulbanen.

Hjul kan være eksentriske eller ha bølgedannelser langs hjulets omkrets.
Antall bølger kan variere fra 2 til ca. 10. Bølgedannelsene antas å oppstå på
grunn av regelbundne sykliske variasjoner i vertikallaster i kombinasjon med
en viss sluring. Vertikallastvariasjonene kan oppstå på grunn av vibrasjoner i
systemet hjul-spor.

Ved låsing av hjul i forbindelse med bremsing forekommer hjulslag.
Skinneslitasje forekommer både på innerstreng og ytterstreng. Det vises til
figur 2.94.


[[Fil:Image240.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.94 Slitasje på skinnehode for innerstreng og ytterstreng.</caption>]]







På innerstrengen dannes ” skjegg” og på ytterstrengen slites innsiden av
skinnehodet. 

Slike slitasjeforløp kan forklares med de krefter som virker mellom hjul og
skinne ved gjennomkjøring i kurver. 

Materialkombinasjonen mellom hjul og skinne har også betydning for
slitasjeforholdet.

I en modell som beskriver slitasjen (bortfall av materiale), antas at denne
slitasjen er nær proporsjonal med energiomsetningen i kontaktpunktet mellom
hjul og skinne.

I virkeligheten er forholdet som beskrevet i figur  2.95.


[[Fil:Image241.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.95 Slitasje som funksjon av energiomsetning.</caption>]]






Generelt kan energiomsetningen beskrives ved følgende uttrykk:


{|width="100%"
|-
|<center><math> E = F \cdot s + M \cdot \Phi   </math></center>  || align="right" | (2.146)
|}



Energi pr. tidsenhet finnes ved derivasjon:


{|width="100%"
|-
|<center><math> P = {dE \over dt} = F \cdot {ds \over dt} + M \cdot { d \Phi \over dt}   </math></center>  || align="right" | (2.147)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> P = {dE \over dt} = F \cdot \Delta v + M \cdot \Delta \omega   </math></center>  || align="right" | (2.148)
|}


Her betyr:


:F = friksjonskraft
:M = friksjonsmoment
:s = glistrekning
:F = glidningsvinkel
:Δv = glihastighet
:Δw= rotasjonshastighet i forbindelse med glidning


Det vises til figur 2.96.




[[Fil:Image245.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.96 Modell for beskrivelse av energiomsetning.</caption>]]







Glihastigheten dekomponeres i en x-retning (Δv<sub>X</sub>) og i en y-retning (Δv<sub>Y</sub>).

Friksjonskreftene (krypkrefter) dekomponeres også i en x-retning (F<sub>X</sub>) og i en
y-retning (F<sub>Y</sub>).

Kryp i x-retning betegnes υ<sub>X</sub> og i y-retning υ<sub>Y</sub>(i kontaktflaten mellom hjul og
skinne). Φ er spinn.


Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \upsilon_X = { \Delta \nu_X \over \nu}, \upsilon_Y = { \Delta \nu_\gamma \over Y},   \Phi = { \Delta \omega \over \nu}     </math></center>  || align="right" | (2.149)
|}


Energiomsetning kan skrives på vektorform:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  P = \bar F \cdot \Delta \bar \nu +   \bar M \cdot \Delta \bar \omega    </math></center>  || align="right" | (2.150)
|}


Energiutvikling pr. meter løpestrekning:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  W = {P \over \nu} = \bar F \cdot {\Delta \bar \nu \over \nu }  + \bar M \cdot {\Delta \bar \omega \over \nu }   </math></center>  || align="right" | (2.151)
|}


I x- og y-retning:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  W =   F_X \cdot {\Delta  \nu_X \over \nu }  + F_Y \cdot {\Delta  \nu_Y \over \nu }  +   M \cdot {\Delta  \omega \over \nu }   </math></center>  || align="right" | (2.152)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  W =   F_X \cdot { \nu_X }  + F_Y \cdot { \nu_Y }  +   M \cdot \Phi   </math></center>  || align="right" | (2.153)
|}


Energiomsetningen kan verbalt uttrykkes slik:


Energiomsetning = Kraft · Kryp<sub>(X,Y)</sub> + Moment · Spinn









=== Myk styring av hjulsatser – radiell styring ===


Myk styring av hjulsatsen i en boggi betyr at hjulsatsen har selvstyrende evne
til å gjennomløpe kurver bedre enn ved stiv styring. Dette medfører at
energiomsetningen avtar og dermed blir motstand ved gjennomløp i kurver
samt slitasje mindre. Videre vil de laterale sporkrefter bli mindre.


De lavere sporkreftene er en følge av:

*Forbedret evne til å gjennomløpe kurver
*Mykere avfjæring mellom hjulsats og boggiramme


Det er særlig de dynamiske tilleggskreftene som oppstår ved sporfeil, som er
blitt redusert.

Energiomsetningen ved gjennomløp i kurver kan beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  E =   F_\xi \cdot { \nu_\xi }  + F_\eta \cdot { \nu_\eta }  +   M \cdot \Phi   </math></center>  || align="right" | (2.154)
|}


Her betyr:

:E er energiomsetning(Nm/m spor)
:F<sub>ξ</sub> er longitudinell krypkraft
:ν<sub>ξ</sub> er longitudinelt krypdefinert som relativ hastighet mellom hjul og skinne i kontaktflaten og aktuell framføringshastighet
:F<sub>η</sub> er lateral krypkraft
:ν<sub>η</sub> er lateralt kryp
:M er sluremomentet mellom 2 legemer
:Φ  er slurevinkel


Det er påvist store forskjeller i energiomsetning mht. forholdet mellom en stiv
konstruert boggi og en boggi med radielt innstilte hjulsatser.

Forholdet kan være 4:1.


Fordelen ved boggier med radielt styrte hjulsatser er altså lavere laterale
sporkrefter og dermed mindre slitasje på hjul og skinner.


Ulempen er imidlertid at gangstabiliteten blir dårligere ved høyere hastigheter.
Tiltak for å bedre denne kan gjennomføres:

*Fjærsystemet både longitudinelt og lateralt i styringen av hjulsatsen må avstemmes med nøyaktig stivhet
* Boggien må utøve riktige egenskaper mht. vridningsdemping. Dette inkluderer tilpasset demping av boggiens styringsegenskaper i forhold til vognkassen. Demping må også innføres lateralt i primærfjæringen, dvs. i hjulsatsstyringen.

=== Prinsippløsninger for boggikonstruksjoner ===



Det skal redegjøres for konstruksjonsløsninger for boggier mht.
løpeegenskaper.


Følgende boggikonstruksjoner blir beskrevet:

*Stiv akselføring
*Elastisk styrte hjulsatser
*Gjensidig koblede hjulsatser
*Hjulsatser som blir styrt av vognkassen
*SIG-NAVIGATOR
*Sammenligning av de forskjellige boggikonstruksjonene
*Three-piece boggi til vogner med tunge aksellaster 


==== Stiv akselføring ====


Figur 2.97 viser en boggikonstruksjon med stiv akselføring.




[[Fil:Image252.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.97 Boggi med stiv akselføring.</caption>]]





Boggier med stiv akselføring gir stor stabilitet ved framføring av det rullende
materiell på rett strekning. Ved gjennomløp i kurver vil imidlertid slitasjen på
hjul og skinner bli relativt høy. Dette skyldes store anløpsvinkler og høy lateral
føringskraft.

Ved smøring av hjulflensmed smøringsapparat vil slitasjen bli betydelig
mindre på grunn av redusert friksjon mellom hjul og skinne.


==== Elastisk styrte hjulsatser ====

Figur 2.98 viser prinsippet mht. konstruksjonsløsning for en boggi med elastisk
styrte hjulsatser.




[[Fil:Image253.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.98 Boggi med elastisk styrte hjulsatser.</caption>]]







Akselboksen til hjulsatsen bindes til boggirammen på en slik måte at
opplageret til denne (akselboksen) blir myk i lengderetningen. En slik
konstruksjon skaper elastisitet mellom hjulsatsens aksel og boggirammen i
denne retningen og gir dermed hjulsatsen den nødvendige frihet til å innstille
seg radielt. En slik radiell innstilling betinger konisitet mellom hjulbanens
berøringsflate på skinnehodet og skinnen.

Elastisk styrte hjulsatser vil kunne innstille seg radielt i kurver og på den
måten blir slitasje på hjul og skinner redusert. Det må imidlertid bemerkes at
radiell innstilling av hjulsatsene betinger tørre skinner.

Ulempen er at boggier med radielt styrte hjulsatser ved høye hastigheter ikke
løper tilstrekkelig stabilt. En absolutt forutsetning for stabil gange er nøyaktig
paring av skinnehode og hjulbane.


==== Gjensidig koblede hjulsatser ====


Figur 2.99 viser konstruksjonsprinsippet til en boggi med gjensidig koblede
hjulsatser.




[[Fil:Image254.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.99 Boggi med gjensidig koblede hjulsatser.</caption>]]




Hjulsatsene i en boggi blir koblet sammen på en slik måte at de hjelper
hverandre og støtter hverandre i tendensen til å oppnå radiell styring.
Imidlertid er det nødvendig å ha innretninger som hindrer uønskede rotasjoner
om hovedaksen. Dette blir oppnådd ved innføring av definerte stivheter i
konstruksjonen mellom hjulsatsene mht. å unngå fordreining og
saksbevegelser.  


==== Hjulsatser som blir styrt av vognkassen ====


Figur 2.100viser prinsippet for en boggikonstruksjon hvor hjulsatsenes
bevegelse blir styrt av vognkassen.




[[Fil:Image255.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.100 Hjulsats som styres av vognkasse.</caption>]]







Det er den relative bevegelse mellom boggikonstruksjon og vognkasse som
framtvinger den radiale innstillingen til hjulsatsene. Dette skjer ved hjelp av
mekaniske innretninger.


==== SIG-NAVIGATOR ====


Denne konstruksjonen er utviklet av SIG. Figur 2.101 viser prinsippet.




[[Fil:Image256.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.101 Boggikonstruksjon av type SIG-NAVIGATOR.</caption>]]





Løsningen bygger på det prinsipp at boggikonstruksjonen reagerer på den
relative bevegelse mellom vognkasse og boggi. Denne bevegelsen forårsaker
en radiell innstilling av hjulsatsene ved gjennomløp av kurver. Mekaniske
innretninger bevirker at akselboksene som befinner seg ved innerstrengen i
kurven, beveger seg mot hverandre. På samme måte vil akselboksene som
befinner seg på den ytre skinnestrengen, bevege seg fra hverandre.
Langsgående og tverrgående glidning blir dermed eliminert.

Konstruksjonen medfører lave anløpsvinkler og føringskrefter og dermed lite
slitasje på hjul og skinner.


==== Sammenligning av de forskjellige boggikonstruksjonene ====


Figur 2.102 angir størrelsen på anløpsvinkel, føringskraft, slitasje på hjul og slitasjevolum samt urundhet for de forskjellige boggikonstruksjonene under
sammenlignbare forhold.




[[Fil:Image257.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.102 Parametre for bedømmelse av ulike boggikonstruksjoners virkemåte.</caption>]]





==== "Three-piece" boggier til vogner for tunge aksellaster ====


Det vises til figur 2.103.



[[Fil:Image258.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.103 Konstruksjonsprinsipp av three-piece bogie til vogner for tunge aksellaster.</caption>]]






I denne boggikonstruksjonen består rammeavstivningen av 2 kryssede
stenger som har forbindelse med sidebjelkene i rammen. De 2 stengene er
forbundet med hverandre. Elastiske hylser er benyttet på forbindelsesstedene.

Ofotbanen har en kurvatur med små radier og fall i kjøreretningen ned til
Narvik. Malmtogene må derfor kjøre i bremset tilstand med 30 tonn (framtidig
aksellast) aksellast. Det er derfor av betydning at det benyttes en
boggikonstruksjon som fungerer radielt mht. styring av hjulsettene også i
bremset tilstand, dvs. at bremsingen ikke må låse hjulsettene i en ukontrollert
skjev stilling.

I forbindelse med anskaffelse av nye malmvogner har MT AB valgt en three
piece boggikonstruksjon som vist i figur 2.103. Spoornet i Sør-Afrika benytter
denne type av vogner for framføring av tunge aksellaster.

== AVSPORINGSMEKANISMER ==


Avsporing mht. gangdynamiske forhold kan inndeles flere grupper:

*Flensklatring
*Togvelting
*Skinnevelting
*Sporforskyvning
*Sporvidde
*Solslyng
*Viktige mål i sporveksler
*Feil mht. lange bølgelengder vertikalt i sporet
*Avlastning





=== Flensklatring ===

Flensen på et hjul klatrer opp på skinnehodets kjørekant dersom sidekraften
blir for stor i forhold til vertikalkraften.


Følgende kriterium gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  {Y \over Q} = {{sidekraft \ pa \ hjul} \over {vertikalkraft \ pa \ hjul}} {\le  \left( {Y \over Q} \right)_{LIM} }</math></center>  || align="right" | (2.155)
|}


Dette betyr at det defineres en største verdi i forholdet mellom lateral kraft og
vertikal kraft på et hjul.

I figur 2.104 er framstilt de krefter som virker på et hjul. Hjulet har en
flensvinkel mot skinnen lik β. I figuren betyr:


Q er vertikal hjulkraft(kN)

Y er lateral kraft (kN)



[[Fil:Image260.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.104 Krefter på hjul ved ettpunktskontakt.</caption>]]





Ved klatringdrei er det seg alltid om ettpunktsberøring. For å belyse problemet
dekomponeres resultanten av de 2 kreftene Q og Y i en tangentialkraft Fν<sub>η</sub>
langs tangenten mellom hjul og skinne og i en normalkraft N<sub>f</sub> normalt til
tangenten i berøringspunktet.


Hjulet kan bare løfte seg dersom hjulflensen finner tilstrekkelig friksjon mot
skinnens kjørekant, dvs. når:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \gamma_f \cdot N_f \ge  F \upsilon_\eta </math></center>  || align="right" | (2.156)
|}


hvor γ<sub>f</sub> er friksjonskoeffisient mellom hjulflens og kjørekant på skinnehodet.

Dersom


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \gamma_f \cdot N_f <  F \upsilon_\eta </math></center>  || align="right" | (2.157)
|}


vil klatring ikke finne sted.


Den kritiske grenseverdi oppnås ved


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \gamma_f \cdot N_f =  F \upsilon_\eta </math></center>  || align="right" | (2.158)
|}


Klatring forhindres dersom hjullasten Q blir større den vertikale komponenten
av flenskreftene:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  Q \ge  F \upsilon_\eta \cdot \sin \beta + N_f \cdot \cos \beta </math></center>  || align="right" | (2.159)
|}

dvs. når 



{|width="100%"
|-
|<center><math>  Q \ge   N_f \left( \gamma_f \cdot \sin \beta + \cos \beta \right) </math></center>  || align="right" | (2.160)
|}



Normalkraften i flensen kan uttrykkes som en funksjon av den laterale kraft Y
på hjulet:



{|width="100%"
|-
|<center><math> Y = -F \upsilon_ \eta  \cdot \cos \beta + N_f \cdot \sin \beta   </math></center>  || align="right" | (2.161)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  Y =  N_f \left( - \gamma_f \cdot \cos \beta + \sin \beta \right) </math></center>  || align="right" | (2.162)
|}


Dermed kan det utledes:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  Q \ge Y \cdot \left({ {\gamma_f \cdot \sin \beta + \cos \beta} \over \sin \beta - \gamma_f \cdot \cos \beta }\right) </math></center>  || align="right" | (2.163)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math>  Q \ge Y \cdot \left({ { 1 + \gamma_f  \cdot \tan \beta } \over \tan \beta - \gamma_f  }\right) </math></center>  || align="right" | (2.164)
|}


For at klatring ikke skal skje, må:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  {Y \over Q} \le { {{ \tan \beta - \gamma_f} \over 1 + \gamma_f \cdot \tan \beta } }</math></center>  || align="right" | (2.165)
|}


Denne formelen kalles Nadals formel.


β er hjulets flensvinkel. Denne vinkelen defineres som vinkelen mellom
fellestangenten i berøringspunktet og sporplanet.


Ovenstående viser at stor friksjon mellom hjul og skinne begunstiger faren for
avsporing. Stor friksjon oppstår i trange spor, ved tørre og nye rustede skinner
og ved liten flensvinkel. q<sub>R</sub>– målet er også av betydning. I Norge skal dette
målet ikke underskride 6,5 mm.


Flenssmøring vil motvirke tendensen til klatring.


Det framgår av uttrykket i ovennevnte formel at faren for avsporing oppstår
ved et for stort forhold mellom føringskraften Y og hjulkraften Q. Når dette
forholdet overskrider en bestemt grenseverdi, kan hjulflensen klatre opp mot
skinnens kjørekant. Det er vognens eller boggiens ledende hjul som kan få
denne tendensen. Dette betyr at hjulet i forreste aksel ruller på ytterstrengen i
en kurve.

=== Togvelting ===



Det skal betraktes et forenklet tilfelle og et mer sammensatt tilfelle.



==== Forenklet tilfelle ====



Her behandles velting under forutsetning av at bare sentrifugalkraften er
medvirkende. Velting inntreffer når den resulterende kraft av vognens tyngde
og sentrifugalkraft går gjennom det ytre hjulet. Det vises til figur 2.105.



[[Fil:Image272.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.105 Togvelting ved forenklet tilfelle.</caption>]]





I figur 2.105 betyr:


g er tyngdens akselerasjon

α er vinkel til sporplanet i forhold til et horisontalt plan

s er sporvidde

h er høyde fra overkant skinne til vognens tyngdepunkt

R er kurveradius




Følgende gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  M = g \cos \alpha \cdot {s \over 2 } + g \sin \alpha \cdot h + {v^2 \over R} \cdot \sin \alpha \cdot {s \over 2} - { v^2 \over R} \cdot \cos \alpha \cdot h = 0 </math></center>  || align="right" | (2.166)
|}


Da α er relativt liten, kan ovenstående uttrykk forenkles:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \cos \alpha = 1  </math></center>  || align="right" | (2.167)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> \sin \alpha = 0  </math></center>  || align="right" | (2.168)
|}


Dette gir følgende uttrykk:




{|width="100%"
|-
|<center><math>  M =  g \cdot {s \over 2} - { v^2 \over R} \cdot h = 0 </math></center>  || align="right" | (2.169)
|}


Velting inntreffer når


{|width="100%"
|-
|<center><math>      { v^2 \over R} \cdot h   \ge g \cdot {s \over 2} </math></center> || align="right" | (2.170)
|}


eller


{|width="100%"
|-
|<center><math>    v \ge \sqrt { g \cdot R \cdot {1 \over 2} \cdot { s \over h }}  </math></center> || align="right" | (2.171)
|}


Dette skal belyses med et eksempel:

R = 600 m

g = 9,81 m/s<sup>2</sup>

s = 1,5 m

h = 2,5 m


Velting inntreffer ved beregnet hastighet :



{|width="100%"
|-
|<center><math>    v \ge \sqrt { 9{,}81 \cdot 600 \cdot {1 \over 2} \cdot { 1{,}5 \over 2{,}5 }} = 42 m / s^2 \approx 42 \cdot {{ 1 \over 1000}  \over { 1 \over 3600}} = 152 km/h  </math></center> || align="right" | (2.172)
|}

==== Et mer sammensatt tilfelle ====



Det rullende materiellet vil velte når de laterale krefter blir for store. Slike
krefter er for eksempel sentrifugalkraft og vindkraft. Det vises til figur 2.106.



[[Fil:Image280.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.106 Togvelting ved medvirkning av vindkrefter.</caption>]]





Det innføres følgende begreper:


F<sub>Y VIND</sub> er resulterende lateral vindkraft(kN)

F<sub>Z VIND</sub> er resulterende vertikal løftekraft (kN)

F<sub>G</sub> er vognens tyngdekraft vertikalt mot sporplanet (kN)

m er vognens masse (kg)

ÿ<sub>S</sub> er kvasistatisk sideakselerasjon i sporplanet

ÿ<sub>DYN</sub> er dynamisk sideakselerasjon i sporplanet

H<sub>TP</sub> er momentarm for vognkassens tyngdepunkt i forhold til sporplanet

H<sub>V</sub> er momentarm for resulterende laterale vindkraft i forhold til sporplanet

b<sub>H</sub> er halve sporvidde

δ<sub>Y</sub> er vognkassens laterale bevegelse i forhold til spormidt vinkelrett på sporplanet

δ<sub>ZV</sub> er avstand fra resultanten av den løftede vindkraft til spormidt

A er senter for velting i betraktningsmodellen



Sikkerhetsfaktor for velting defineres ved forholdet:



{|width="100%"
|-
|<center><math>    n_s = { stabiliserende \ moment \over veltende \ moment} > 1 </math></center> || align="right" | (2.173)
|}




Iht. betegnelser i figur 2.106 blir forholdet:




{|width="100%"
|-
|<center><math>    n_s = { F_g \times (b_h \div \delta_Y) \div F_{Z VIND} \times ( b_H \div \delta_{ZV}) \over m \times ( \ddot y_S + \ddot y _{DYN}) \times H_{TP} + F _{Y VIND} \times H_V }  </math></center> || align="right" | (2.174)
|}


I telleren er angitt de stabiliserende momenter og i nevneren inneholder de
momenter som forårsaker velting.

Det bemerkes at for det rullende materiell er det bare vognkassensom er blitt
betraktet. Dersom en nøyaktig beregning er påkrevet, må også vekt og masse
for boggi og hjulpar tas med. For disse delene kan vindlasten settes lik 0.
Det rullende materiell vil begynne å velte når:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    n_s < 1  </math></center> || align="right" | (2.175)
|}


Tradisjonelt er følgende forenklede formel benyttet:



{|width="100%"
|-
|<center><math>    n_s = { F_G \times ( b_H - \delta_Y )\over m \times \ddot y_S \times H_{TP} } > 4  </math></center> || align="right" | (2.176)
|}





I denne formelen er δ<sub>Y</sub> kvasistatisk forskyvning.

Det legges merke til at for å oppnå tilstrekkelig sikkerhet mot velting kreves en
sikkerhet lik 4 ved bruk av den forenklede formel.

=== Skinnevelting ===



For en skinne med en viss lengde som ikke er fastholdt eller innspent, gjelder
at skinnen kan velte dersom kraftresultanten for de opptredende vertikale og
laterale krefter havner utenfor skinnefoten. Dette kan uttrykkes ved følgende
ulikhet:


{|width="100%"
|-
|<center><math>    \left[ { \sum Y \over \sum Q } > {b_C \over h_C}  \right]  </math></center> || align="right" | (2.177)
|}


h<sub>C</sub> er høyden på skinnen regnet fra hjulets angrepspunkt på skinnehodet

b<sub>C</sub> er lateral avstand fra hjulets angrepspunkt på skinnehodet til veltesenteret.


Det vises til figur 2.107.



[[Fil:Image286.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.107 Modell ved skinnevelting.</caption>]]







For de befestigelser som ikke holder skinnen innspent, benyttes vanligvis de
krefter som virker fra en boggi. 

Et kort skinneparti under et individuelt hjul bedømmes ikke å kunne velte
uansett hva som hender under nærmeste hjul på samme boggi. Det vises til
figur 2.108.


[[Fil:Image287.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.108 Krefter på skinner ved velting.</caption>]]







Kriteriet for sikkerhet mot velting av skinne som ikke blir fastholdt av
befestigelsen, kan uttrykkes ved:



{|width="100%"
|-
|<center><math>   R_V =  { \sum Y \over \sum Q } \le {b_C \over h_C} = 0{,}5 - 0{,}7   </math></center> || align="right" | (2.178)
|}


Det er nevnt at det benyttes krefter fra en boggi. For en tenkt venstre side i
sporet i kjøreretningen gjelder da:


{|width="100%"
|-
|<center><math>   R_{VV} =  { Y_{1V} + Y_{2V} \over
Q_{1V} + Q_{2V} } \le {b_C \over h_C}    </math></center> || align="right" | (2.179)
|}


Tilsvarende formel kan uttrykkes for høyre side i kjøreretningen.

Intervallet R<sub>V</sub> < 0.5 – 0,7 beror på type av skinne som benyttes.

Ovennevnte betraktninger er gjort for befestigelsestype som ikke holder
skinnen fastholdt eller innspent i befestigelsen, dvs. befestigelser av type
skinnespiker. Ved bruk av moderne høyelastiske skinnebefestigelser er
skinnen innspent og sikkerhet mot velting av skinne er derfor ivaretatt på en
langt mer sikker måte.

=== Sporforskyvning ===




Risiko for sporforskyvning lateralt beror på den totale sidekraften mellom
hjulsett og sporet. Nivået på de krefter som sporet kan tåle lateralt, er vel
definert ved en definert grenseverdi for den såkalte S-kraften. Utgangspunktet
er de laterale Y-krefter fra hvert hjul i hjulsettet på begge skinner i sporet ved
framføring av det rullende materiell. Det vises til figur 2.109.



[[Fil:Image290.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.109 Differansen av de laterale Y-krefter danner S-kraften.</caption>]]







Iht. figur 2.109 beregnes S-kraften:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  S = Y_V - Y_H   </math></center> || align="right" | (2.180)
|}


S er lateral sideforskyvningskraft mot sporet. 

Y<sub>V</sub> er lateral hjul-skinnekraft på venstre skinne

Y<sub>H</sub> er lateral hjul-skinnekraft på høyre skinne



Det finnes en grenseverdi for tillatt sporforskyvningskraft:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  S_{LIM} = \alpha \times \left( 10 + { 2Q_0 \over 3} \right) (kN)</math></center> || align="right" | (2.181)
|}


Denne formelen benevnes Prud’ hommes formel og er utviklet empirisk med
grunnlag i omfangsrike forsøk for undersøkelse av stabiliteten i sporet.

Q0statisk eller nominell hjullast.

α er en faktor som er avhengig av type av vognmateriell:

α er 1,00 for lokomotiv, passasjervogner og togsett med traksjonsenhet.
α er 0,85 for godsvogner.


Årsaken til de ulike verdiene for faktor α beror på kvaliteten til vogn og ikke
minst til boggikonstruksjon for forskjellig typer materiell. Det finnes ennå mye
eldre godsvogner i trafikk med dårlige løpeegenskaper som forårsaker stor
spredning mht. belastning på sporet og dermed store krefter. Av
sikkerhetsmessige årsaker settes derfor α lik 0,85 for denne type materiell.
Lokomotivene og passasjervogner samt togsett med traksjonsenhet er som
regel av nyere dato. I takt med utviklingen er disse materielltypene utstyrt med
moderne boggikonstruksjoner og andre komponenter som bevirker mindre
dynamiske krefter ved framføring. α lik 1,0 kan derfor benyttes i slike tilfeller.


Med faktor α = 0,85 kan formelen skrives:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  S_{LIM} = 0{,}85 \left( 10 + { 2Q_0 \over 3 } \right)  </math></center> || align="right" | (2.182)
|}



Dette er den opprinnelige formelen og gjelder egentlig for et spor med
tresviller med senteravstand lik 65 cm og skinner med vekt minst 46 kg/m
samt grusballast i et ikke-stabilisert spor. I et spor med betongsviller og
pukkballast blir naturligvis sikkerhet mot sporforskyvning vesentlig bedre. α lik
1,00 er for nyere materiell er nettopp utledet av dette faktum.

For at S-kraften skal kunne forårsake forskyvning av sporet med avsporing
som resultat, må denne kraften ha en viss varighet og virke over en
tilsvarende lengde på sporet. Det regnes med en varighet som tilsvarer en
lengde på 2 meter. Dette betyr at sporforskyvning og dermed avsporing ikke
vil inntreffe når:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  S_{2M} \le S_{LIM} =  \alpha \left( 10 + { 2Q_0 \over 3 } \right)  </math></center> || align="right" | (2.183)
|}


Dette medfører at innenfor 2 meters verdiene kan S-kraften være høyere enn
grenseverdien.


Dette er illustrert i figur 2.110.



[[Fil:Image295.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.110 Definisjon av 2 meters verdier for S-kraft.</caption>]]

=== Sporvidde ===




Sporutvidelseskjer hvor skinnene ikke er i stand til å motstå virkningen av
laterale krefter fra hjulene til det rullende materiell ved framføring. Det er stor
forskjell på løpeegenskaper til forskjellige typer av rullende materiell og noen
vogner utøver høyere laterale krefter enn andre. Kreftene kan også øke når
nivået på friksjonen mellom hjul og skinne øker. Videre er det vanligvis ikke til
å unngå at de laterale kreftene blir store i kurver med små radier.
Sporkonstruksjonen må derfor være i stand til å motstå disse kreftene for å
sikre en forsvarlig framføring.

Dersom evnen til skinnene når et punkt hvor de ikke lenger kan motstå
systemet av laterale krefter som skyver skinnene fra hverandre, vil skinnene
bevege seg utover eller rotere i befestigelsen. Hjulsettet har da ikke lenger
noe underlag (skinnene) å bli framført på.

Dersom sporvidden i utgangspunktet er meget stor i statisk tilstand, er risikoen
for avsporing selvsagt til stede. Men også i dynamisk tilstand dvs. når det
rullende materiell passerer, er det risiko for avsporing. Dette beror naturligvis
på bl.a. befestigelsens og svillens tilstand. Avsporingsrisikoen er da tilstede
selv om den statiske sporvidde er innenfor toleransegrensene. Spesielt vil
tendensen til avsporing være større for materiell med 3 eller flere hjulsatser på
boggien.

Årsaker som medfører sporutvidelse, kan være slitte eller ødelagte
komponenter i sporet. Dette gjelder i særlig grad befestigelsens deler og
sviller. Løse bolter i tresviller på grunn av avlange hull og brutte komponenter i
befestigelsen vil kunne føre til for stor sporvidde og dermed avsporing.
Betongsviller i oppsprukket tilstand i befestigelsesleiet og riss i betongen med
fare for korrosjon i armeringen vil også være årsaker til avsporing.




=== Solslyng ===




Solslyng inntreffer når hele sporkonstruksjonen sammen med svillene beveger
seg sideveis i ballasten.

Denne type avsporingskjer ved meget store longitudinelle krefter i skinnene.
Kreftene oppstår ved at skinnene utvider seg ved meget høye temperaturer.

Det er derfor av avgjørende betydning at sporet er støttet sideveis ved
tilstrekkelig lengde på ballastskuldrene.

Videre er det nødvendig at den laterale motstand mot forskyvning er tilnærmet
konstant. Dette betyr at det kreves kontinuerlig og homogen elastisitet i sporet
sideveis. Endring i denne elastisiteten og dermed motstandskapasiteten kan
føre til solslyng. Et eksempel på et sted med endring av sporets elastisitet
sideveis er overgangen fra vanlig spor til brukonstruksjon med stålbjelker og
tresviller.

Svillens vekt er også av betydning. Betongsviller vil medvirke til bedre lateral
motstand mot sideforskyvning for sporkonstruksjonen enn tresviller.





=== Konfliktområder i sporveksler ===





Det er påpekt at et q<sub>R</sub> – mål mindre enn 6,5 mm betyr for steil flens på hjulet
og at dette kan medføre fare for klatring. Spesielt i det området for
tungespissensom er underhøvlet og som derfor blir liggende under
stokkskinnens kjørekant, er faren stor for avsporing ved for steil flens på
hjulets hjulbane. Flensen kan klatre opp på tungespissen og resultatet er
avsporing. Det vises til figur 2.111.



[[Fil:Image296.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.111 Avsporingssituasjon når flensen klatrer opp på tungespissen.</caption>]]







Et annet mulig konfliktområde er krysspartiet i en sporveksel. Krysspartiet
består av krysspissen, vingeskinnen og ledeskinnen. Disse danner en
konstruktiv enhet. Den innbyrdes beliggenhet av disse konstruksjonsdelene er
fastsatt på grunnlag av hjulsatsens mål og bestemmes i det vesentligste av 4
hovedmål. Det vises til figur 2.112.


[[Fil:Image297.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.112 Mål av hjulsatsen og innbyrdes plassering av hovedkomponentene i krysspartiet i en sporveksel.</caption>]]





Betegnelsene i figur 2.112er:


A = sporvidde(mellom 1433 og 1450 mm)

C = ledeviddesom må være så stor at hjulflensen ikke kan klatre
opp mot krysspissen. Dette betinger et mål C > 1393 med mer

B = avstand mellom ledeflatene. Denne skal ikke være så stor at en
hjulsatskan klemme seg fast mellom ledeskinnen og
vingeskinnen. Målet må være mindre enn 1356 mm.

RL og

RK = rillebredder som må være tilstrekkelig store for å skaffe plass til de tykkeste (dvs. nydreide) hjulflenser. Målene må være større enn 35 mm og utføres normalt i en størrelse på 41 mm.


Hovedmålene må kontrolleres jevnlig.

=== Feil mht. vertikale bølgelengder i sporet ===



Dersom det oppstår en serie av vertikale dybder i sporet (skinnene) med jevne
mellomrom, kan dette føre til avsporing av det rullende materiell. Slike
langbølgede feil i vertikalretning i toppen av sporkonstruksjonen har vanligvis
sin årsak i periodisk ujevnhet i elastisitetsforholdene. Årsaken kan være lokale
våte steder i sporkonstruksjonen.

Risikoen for avsporing blir desto større dersom avstanden mellom de
periodiske feilene tilsvarer vognens resonansfrekvens mht. galoppering eller
vipping samt svingning. Spesielt er to-akslede vogner med høy vertikal
fjærstivheter utsatt.

Det må bemerkes at de vertikale sykliske ujevnheter alene ikke er tilstrekkelig
til å bevirke avsporing. Hjulsettet må også anta en samtidig lateral bevegelse.
En lateral bevegelse av hjulsettet kan imidlertid oppstå på grunn av krefter i
kurver og fordi laterale resonansbevegelser til vognen opptrer i samsvar med
periodiske laterale feil i sporet.

Et lasket spor vil kunne forårsake en slik avsporing dersom de to tilstøtende
skinneendene ikke har samme høyde.






=== Avlastning ===




Dette avsnittet har bakgrunn i det arbeidet som er utført av utvalget i ORE B
55 mht. sikkerhet mot avsporing av godsvogner i vindskjevt spor. Avsnittet
bygger på en artikkel av J. Maulmann i NSB – teknikk 2, 1980.

Det skal betraktes forholdet Y/Q i en overhøyderampe med justeringsfeil.

En overhøyderampe er en kombinasjon av en overhøyde og en vindskjevhet.
Under forutsetning av lav hastighet dvs. når sentrifugalkraften er neglisjerbar,
vil overhøyden forårsake reduksjon av hjulkreftene på ytre skinnestreng for
alle hjul som antydet i figur xx. Vindskjevheten forårsaker en ekstra avlastning
av hjulkraften på ytre skinnestreng av det hjulet som befinner seg på det laveste sted på denne strengen, dvs. hjul nr. 1.1 i figur 2.113. Iht. denne
figuren gjelder følgende betegnelser:



Q<sub>0</sub> er den gjennomsnittlige hjulkraft, dvs. 25 % av vognens tyngde for en 2- akslet vogn

ΔQ<sub>h</sub> er forandring av hjultrykk på grunn av overhøyde h<sub>A</sub>

ΔQ<sub>g</sub> er forandring av hjultrykk på grunn av sporets vindskjevhet g

ΔQ<sub>L</sub> er forandringer av hjultrykk på grunn av lastens eksentrisitet



[[Fil:Image298.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.113 Hjulomlastning for to-akslede vogner i vindskjevt spor.</caption>]]







For de 4 hjulene i en 2-akslet vogn kan det settes opp følgende formler for
hjulbelastning:


Forreste hjul i ytterstreng (det hjul som befinner seg lavest på denne
strengen):


{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{1.1} = Q_0 - \Delta Q_g - \Delta Q_h - \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.184)
|}


Forreste hjul i innerstreng:



{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{1.2} = Q_0 + \Delta Q_g + \Delta Q_h + \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.185)
|}


Bakerste hjul i ytterstreng:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{2.1} = Q_0 + \Delta Q_g - \Delta Q_h - \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.186)
|}


Bakerste hjul i innerstreng:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{2.2} = Q_0 - \Delta Q_g + \Delta Q_h + \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.187)
|}



Som formel 2.91 viser, kan en sporfeil i stor grad influere på størrelsen av
forandringen av hjultrykket på grunn av sporets vindskjevhet(ΔQ<sub>g</sub>).
Vognen befinner seg i en vindskjevhet på g promille som på grunn av for
eksempel utilstrekkelig justering eller setninger etter at justeringen er foretatt,
er blitt betraktelig større enn den tilsiktede rampestigningen som skal være g<sub>t</sub>
promille.

Hjulkraftforandringen ΔQ<sub>g</sub> skyldes både sporets og vognens konstruktive
utførelse og kan uttrykkes ved følgende formel:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_g = g \cdot C_{tA} </math></center> || align="right" | (2.188)
|}



Faktoren C<sub>tA</sub> er vognens totale torsjonsstivhet i kN/promille. Denne faktoren
kan i stor grad influeres av vognkonstruktøren.

Hjulkraftforandringen ΔQ<sub>h</sub>
skyldes praktisk talt bare sporet, og det framgår av
figur xx at hjulkraftforandringen kan uttrykkes ved:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_h = h \cdot { H \over S_2 } \cdot 2  Q_0 </math></center> || align="right" | (2.189)
|}


Her betyr:


h er overhøyden
S er avstand mellom skinnene
H er høyden av vognens tyngdepunkt over sporplan


Vognkonstruktøren kan bare i meget liten grad influere på faktoren H som vil
være avgjørende for størrelsen av forandringen av hjulkraften.
Hjulavlastningen kan ytterligere bli redusert som følge av sideveis eksentrisite
av vognens last. Ved lav hastighet har dette tilsvarende virkning som
overhøyden når vognens stilling er slik at eksentrisiteten er rettet mot sporets
indre streng. Dette er vist i figur 2.114.



[[Fil:Image305.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.114 Virkning av skjev last i vogn.</caption>]]






Forholdet kan uttrykkes ved følgende formel:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_L = {{G_L \cdot e_L} \over 2 \cdot S } </math></center> || align="right" | (2.190)
|}


G<sub>L</sub> er vognens last

e<sub>L</sub> er lastens eksentrisitet


Ved lav hastighet vil det forreste hjulet i ytterstreng ha den største
hjulavlastningen:



{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{1.1} = Q_a = Q_0 - \Delta Q_h - \Delta Q_g - \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.191)
|}


Tilsvarende blir påtrykket størst for det forreste hjulet i innerstreng:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_{1.2} = Q_i = Q_0 + \Delta Q_g + \Delta Q_h + \Delta Q_L </math></center> || align="right" | (2.192)
|}


Størrelsen av føringskraften Y<sub>a</sub> er ved lave hastigheter i stor grad avhengig av
tverrkraften som virker på det motsatte hjul, dvs. hjulet på indre streng. Og
denne kraften Y<sub>i</sub> er en friksjonskraft som øker proporsjonalt med hjulkraften på
indre streng, dvs. med Q<sub>i</sub>. Med økende påtrykk blir også Yi større.


Ved lave hastigheter, dvs. uten påvirkning av sentrifugalkraften gjelder
tilnærmet:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Q_a + Q_i = 2 \cdot Q_0  </math></center> || align="right" | (2.193)
|}  


Tverrkraften på den indre streng kan uttrykkes ved:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Y_i = tg( \gamma_i + \rho_i ) \cdot Q_i  </math></center> || align="right" | (2.194)
|}


Tverrkraften på den ytre streng uttrykkes ved:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Y_a = Y_i - 2 \cdot Q_0 \cdot { h \over S }  </math></center> || align="right" | (2.195)
|}


Dette gir:



{|width="100%"
|-
|<center><math> Y_a = tg( \gamma_i + \rho_i ) \cdot Q_i - 2 \cdot Q_0 \cdot {h \over S}  </math></center> || align="right" | (2.196)
|}


Ved å innføre


{|width="100%"
|-
|<center><math> f = tg( \gamma_i + \rho_i )   </math></center> || align="right" | (2.197)
|}


kan ovennevnte formel uttrykkes på følgene måte:



{|width="100%"
|-
|<center><math> Y_a = f \cdot Q_i - 2 \cdot Q_0 \cdot {h \over S }  </math></center> || align="right" | (2.198)
|}


Dette gir:


{|width="100%"
|-
|<center><math> Y_a = f \cdot ( Q_0 + \Delta Q_h + \Delta Q_g  + \Delta Q_L ) - 2 \cdot Q_0 {h \over S } </math></center> || align="right" | (2.199)
|}


γ<sub>i</sub> er vinkelen i forhold til sporplan av fellestangenten i berøringspunktet
hjul/skinne på indre streng. Denne vinkelen er meget liten.

ρ<sub>i</sub> er friksjonsvinkelen hjul/skinne som er avhengig akselens anløpsvinkel α.
Ved stor anløpsvinkel kan f oppnå størrelser over 0,5.


Overhøydens innflytelse kan medføre en liten reduksjon av Y<sub>a</sub>, men dette
medfører ikke at vognen legger seg mot indre streng. Dette fordi den positive
faktoren i ovennevnte formel alltid er betraktelig større enn den negative
komponenten som er faktoren av akselkraften i sporplanet. Videre influerer
overhøyden på faktoren f som vil øke noe. Dette fordi overhøyden bevirker en
økning av anløpsvinkelen ved lav hastighet.


Iht. ovenstående kan Y/Q-forholdet uttrykkes på følgende måte:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {Y_a \over Q_a} = {{f \cdot ( Q_0 + \Delta Q_h + \Delta Q_g  + \Delta Q_L ) - 2 \cdot Q_0 \left({h \over S } \right) } \over Q_0 - \Delta Q_h - \Delta Q_g  - \Delta Q_L } </math></center> || align="right" | (2.200)
|}


Det skal i det etterfølgende gjennomgås en prosedyre for beregning av
sikkerhet mot avsporing under definerte forutsetninger. Det antas en tom
godsvogn i en kurve med radius 150 m uten overhøyde og med en feil i
vindskjevhet av størrelse g<sub>LIM</sub>. Det forutsettes at et av hjulene kan løfte seg
inntil 5 mm, slik at vognens torsjon g<sub>T</sub> ikke blir større enn g*.

Videre forutsettes at vognen har hjul med flensvinkler lik 70<sup>o</sup>
. Forholdet Y<sub>a</sub>/Q<sub>a</sub> skal ikke overskride 1,2.

Da overhøyde og last er satt lik null, kan ovenstående formel uttrykkes som:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {Y_a \over Q_a} = {{f_{150} \cdot ( Q_0 + \Delta Q_t)} \over Q_0 - \Delta Q_t }</math></center> || align="right" | (2.201)
|}


Uttrykket er det samme som over, men i samsvar med forutsetningene faller
ΔQ<sub>h</sub> (ingen overhøyde) og ΔQL (ingen last) ut. Leddet ΔQ<sub>g</sub>= C<sub>tA</sub>· g erstattes av
ΔQ<sub>t</sub>= C<sub>tA</sub>· gt. f<sub>150</sub>= tg(γ<sub>i</sub>+ ρ<sub>i</sub>) for en kurve med radius 150 m.

g er sporets vindskjevhet og gt er vognens torsjon. Begge størrelsene er
uttrykt i promille. Da det ene hjulet tillates å løfte seg 5 mm, vil g og g<sub>t</sub> anta
forskjellige verdier.

Denne formelen gjelder en feilfri vogn og innflytelse av torsjonsfriksjonen er
ikke medtatt. Det er imidlertid ønskelig å ta med alle faktorene som kan
influere på sikkerheten mot avsporing av en tom vogn i en kurve uten
overhøyde. Disse faktorene er:


ΔQ<sub>eb</sub> er sideveis eksentrisitet av vognens tyngdepunkt.

ΔQ<sub>to</sub> er vognens egen vindskjevhet

ΔQ<sub>μ</sub> er torsjonsfriksjonen


Videre er det lagt inn den forutsetning at vindskjevheten i sporet kan forårsake
at vognen allikevel befinner seg i et spor med liten overhøyde. Denne
overhøyden forårsaker en hjulkraftforandring med benevnelsen ΔQ<sub>üg</sub>.

Summen av alle ovennevnte faktorer som altså kan forårsake en
hjulkraftforandring, skal holde seg innenfor en bestemt grense som benevnes
ΔQ<sub>lim</sub>:




{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_{eb} + \Delta Q_{to} + \Delta Q_\mu + \Delta Q_t + \Delta_{\ddot u g} \le  \Delta Q_{lim} </math></center> || align="right" | (2.202)
|}


Størrelsen av ΔQ<sub>lim</sub> bestemmes iht. følgende uttrykk:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {Y_a \over Q_a} = { { f_{150} \cdot ( Q_0 + \Delta Q_{lim} ) - \left( { \ddot u_g \over S} \right) \cdot 2 Q_0 } \over Q_0 - \Delta Q_{lim}} </math></center> || align="right" | (2.203)
|}


Faktoren


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \left( { \ddot u_g \over S} \right) \cdot 2 Q_0  </math></center> || align="right" | (2.204)
|}


settes lik 0 da det forutsettes overhøyde lik 0 (eller meget liten overhøyde).


Faktoren f<sub>150</sub> er som allerede nevnt lik tg(γ<sub>i</sub>+ ρ<sub>i</sub>) for en kurve med radius 150
m. Størrelsen av denne faktoren kan bestemmes ved å foreta målinger av
føringskreftene Y<sub>a</sub> i en kurve med radius 150 m uten overhøyde.


Det må forlanges:



{|width="100%"
|-
|<center><math> {Y_a \over Q_a} = { { f_{150} \cdot ( Q_0 + \Delta Q_{lim} ) } \over Q_0 - \Delta Q_{lim}} \le 1,2 </math></center> || align="right" | (2.205)
|}


Dette uttrykket løses mht. ΔQ<sub>lim</sub>:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Q_{lim} \le \left( {1,2 - f_{150} \over 1,2 + f_{150}}  \right)\cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.206)
|}


Når det gjelder 2-akslede vogner med UIC dobbeltlenkopphenging og med
akselavstander 6 – 9 m, har det blitt foreslått følgende formel for faktoren f<sub>150</sub>:


{|width="100%"
|-
|<center><math> f_{150} = {6,5 \over A} \cdot A </math></center> || align="right" | (2.207)
|}


hvor A er akselavstanden angitt i meter.


For slike vogner kan ΔQ<sub>lim</sub> uttrykkes som:



{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Q_{lim} = {1,2 - 0,043 \cdot A \over 1,2 + 0,043 \cdot A} \cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.208)
|}


For A = 6 m blir ΔQ<sub>lim</sub>= 0,64Q<sub>0</sub>. 

For A = 9 m blir ΔQ<sub>lim</sub>= 0,50Q<sub>0</sub>.

I formel


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Q_{eb} + \Delta Q_{to} + \Delta Q \mu + \Delta Q t + \Delta Q_{\ddot u g} \le \Delta Q_{lim} </math></center> || align="right" | (2.209)
|}


forekommer forskjellige faktorer som er fastlagt på grunn av nødvendige
sikkerhetsmarginer. Disse tar hensyn til vedlikeholdstoleranser og følgende
blir antatt:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q \mu  \le 0,1 \cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.210)
|}



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_{eb} + \Delta Q_{to}  \le 0,1 \cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.211)
|}


Videre gjelder:



{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_{\ddot u g} = {H \over S^2} \cdot \ddot u_g \cdot 2 \cdot Q_0 = {g_{lim} \over 1000} \cdot A \cdot \left( { H \over S^2} \right) \cdot Q_0  </math></center> || align="right" | (2.212)
|}


Settes dette inn i formelen, oppnås følgende betingelse:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_t + Q_o \cdot \left( 0,2 + \left( {H \over S^2} \right)\cdot A \cdot \left( { g_{lim} \over 1000 } \right) \right) \le \Delta Q_{lim} </math></center> || align="right" | (2.213)
|}


Når akselavstanden A er gitt, kan vognkonstruktøren praktisk talt bare influere
på størrelsen av ΔQ<sub>t</sub> som uttrykker hjulkraftforandring på grunn av vognens
torsjon.


Løsning av ulikheten over gir største maksimale verdi for ΔQ<sub>tlim</sub>:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  \Delta Q_{t \ lim} = \Delta Q_{lim} - Q_0 \cdot \left( 0,2 + \left( {H \over S^2} \right)\cdot A \cdot {g_{lim} \over 1000} \right)  </math></center> || align="right" | (2.214)
|}


Vognens totale vindskjevhet skal ikke overskride:


{|width="100%"
|-
|<center><math>  C_{ta} = {\Delta Q_{t \ lim} \over g^x}  </math></center> || align="right" | (2.215)
|}


Ifølge retningslinjene kan tillatt hjulavlastning ΔQ<sub>lim</sub> beregnes når vognen har
UIC-dobbeltlenker som antatt her. For akselavstand A = 9 m er det iht. formel


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Q_{lim} = {1,2 - 0,043 \cdot A \over 1,2 + 0,043 \cdot A} \cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.216)
|}


beregnet at


{|width="100%"
|-
|<center><math> \Delta Q_{lim} = 0,5 \cdot Q_0 </math></center> || align="right" | (2.217)
|}


Godsvogner må være i stand til å gjennomkjøre vindskjevheter inntil
størrelsen g<sub>lim</sub> som er grenseverdien for sporets vindskjevhet. For 2-akslede
vogner gjelder:


{|width="100%"
|-
|<center><math> g_{lim} = \left( {20 \over A} + 3 \right) </math></center> || align="right" | (2.218)
|}


hvor A er akselavstanden i meter.


Med A lik 9 m blir g<sub>lim</sub> = 5,22 promille. Det ledende hjul vil da løfte seg 5 mm
og vognens totale torsjon kan beregnes:



{|width="100%"
|-
|<center><math> g_{lim}- { {loftet} \over A } = 5,22 - {5mm \over 9m} = 5,22 - 0,56 = 4,66 \ promille </math></center> || align="right" | (2.219)
|}

Vognen befinner seg da i en overhøyde


{|width="100%"
|-
|<center><math> \ddot u_g ={A \over 2} \cdot g_{lim} = {9 \over 2} \cdot 5,22 \ promille = 23,5 mm </math></center> || align="right" | (2.220)
|}


Som allerede angitt er den totale torsjonsstivhet for en vogn: 


{|width="100%"
|-
|<center><math> C_{tA} = { \Delta Q_{t \ lim} \over g^x } </math></center> || align="right" | (2.221)
|}



I ovenstående er det altså forutsatt en største overhøyde lik 23,5 mm.
Imidlertid kan det forekomme større overhøyder ü<sub>g</sub> i kurver med små radier
(150 – 180 m). Dette betyr at vognen allikevel ikke er avsporingssikker. For
kurver med liten radius og stor overhøyde må det stilles større krav til sporets
justeringsstandard enn det som blir forlangt i formelen til faktoren g<sub>lim</sub>.

Med gitt akselavstand er det påpekt at vognkonstruktøren bare i liten grad kan
influere på størrelsen ΔQ<sub>t</sub>
som altså er hjulkraftforandringen på grunn av
vognens torsjon. Det finnes også en grense for de krav som kan settes til
godsvognenes konstruksjon. Problemet bør heller angripes på en slik måte at
det undersøkes hvilke krav som må stilles til sporet for å oppnå sikkerhet mot
avsporinger i spor med stor overhøyde.

Det er fastsatt i regelverket en maksimal overhøyde som funksjon av kurvens
radius:



{|width="100%"
|-
|<center><math> h_{maks} = \left( {R-100 \over 2 }  \right) </math></center> || align="right" | (2.222)
|}


R er kurvens radius i meter

h<sub>maks</sub> framkommer i mm.

Grenseverdi for rampestigning er 1 : 400 eller 2,5 promille.

== VOGNENES RULLING ==




=== Vognenes rullvinkelkoeffisient ===




Når et tog kjører gjennom en kurve, vil det oppstå sidekrefter som oppleves
som ubehagelige av passasjerene. Disse sidekreftene øker proporsjonalt med
andre potens av hastigheten og har benevnelsen sentrifugalkraft. Kraften
uttrykkes vanligvis ved sideakselerasjonen:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_u = {v^2 \over R} - g \cdot { D \over S } </math></center> || align="right" | (2.223)
|}


Her betyr:


au er ukompensert sideakselerasjon i sporplanet (m/s<sup>2</sup>) 

v er hastighettil det rullende materiell i kurven (m/s)

R er radius i kurve (m)

g er tyngdens akselerasjon (m/s<sup>2</sup>)

D er overhøyde(mm)

S er sporvidde(mm)


Med en masse m blir sentrifugalkraften:



{|width="100%"
|-
|<center><math> S_{LAT.} = m \cdot a_u = m \cdot \left( {v^2 \over R} - g \cdot { D \over S} \right) </math></center> || align="right" | (2.224)
|}



Størrelsen på denne kraften fordeles på akslene på vognens boggier eller på
begge akslene i en 2-akslet vogn.

Det vises til figur 2.115.



[[Fil:Image341.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.115 Vognens rulling.</caption>]]





Det framgår av uttrykket for den ukompenserte sideakselerasjon at denne (au)
reduseres ved å øke overhøyden i kurven. Den ytre skinnestreng legges
høyere enn den indre skinnestreng i kurven. Overhøyden skal i Norge ikke
overskride 150 mm.


Ideelt sett burde hastigheten i kurven ikke være større enn at
sideakselerasjonen blir tilnærmet lik null (som på rett linje). En slik hastighet
benevnes likevektshastighet. 


Nå er det imidlertid slik at ut fra et komfortsynspunkt kan passasjerene
utsettes for en ukompensert sideakselerasjon i sporplanet av en viss størrelse.
Erfaring tilsier at aU 
kan anta en viss størrelse uten at passasjerene opplever
komforten som dårlig. Dette gir grunnlag for økt hastighet.


Nå er det imidlertid slik at denne sideakselerasjonen i sporplanet ikke alene
bestemmer komforten. Sideakselerasjonen som passasjerene opplever, er
altså ikke bare betinget av togets hastighet og kurvens overhøyde. Også
togmateriellets konstruksjon er av betydning. På grunn av materiellets
fjærkonstruksjoner vil konvensjonelt materiell rulle eller krenge utover i kurven
når toget gjennomløper kurven med en større hastighet enn
likevektshastigheten. Dette medfører at vognens helning i forhold til det
horisontale plan blir mindre enn sporplanets helning. Vognens ” overhøyde” blir
mindre enn kurvens overhøyde. Dermed blir effekten av overhøyden i sporet
redusert. Rulling oppstår både i sekundærfjæringen (fjæring mellom boggi og
vognkasse) og i noe mindre grad i primærfjæringen (fjæring mellom hjul og
boggi). Den samlede grad av rull uttrykkes ved rullvinkelkoeffisienten r.

Sideakselerasjonen blir på grunn av rulling normalt høyere i vognkassen enn i
sporplanet. Denne sideakselerasjonen som betegnes kompensert
sideakselerasjon, benevnes a<sub>K</sub>.

Iht. ovennevnte gjelder at a<sub>K</sub> påvirker komforten til passasjerene. a<sub>U</sub>
gir
opphav til de krefter som oppstår mellom hjul og skinne ved framføring av det
rullende materiell.

Den effektive rullingsfaktor f<sub>r</sub> uttrykkes ved rullvinkelkoeffisienten r på denne
måten:



{|width="100%"
|-
|<center><math> f_r = (1+r) </math></center> || align="right" | (2.225)
|}


Sammenhengen mellom a<sub>k</sub>, a<sub>u</sub> og f<sub>r</sub> (evt. r) kan angis:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_K = a_u \cdot f_r = a_u \cdot (1+r) </math></center> || align="right" | (2.226)
|}


Det framgår at r bør anta liten verdi. Dette betinger harde fjærkonstanter.


For norsk materiell gjelder følgende verdier:


*Vogn litra B3: r = 0,6

*Vogn litra B5: r = 0,4

*Vogn type B7: r = 0,2


På grunn av de store forskjellene i rullvinkelkoeffisient framføres vognene med
ulike hastigheter av hensyn til komforten.


De 2 øverste vogntypene (Vogn litra B3 og vogn litra B5) framføres med
kurvehastigheter (normalhastighet) som tilsvarer a<sub>U</sub> lik 0,65 m/s<sup>2</sup>. Rent
unntaksvis kan vognene framføres med ukompensert sideakselerasjon i sporplanet lik 0,85 m/s<sup>2</sup>.


Dette gir følgende verdier for sideakselerasjonen i vognkasse som passasjerene utsettes for:


*Vogn litra B3:     
:a<sub>K</sub>= 0,65 (1 + 0,6) = 1,0 m/s<sup>2</sup>
:a<sub>K</sub>= 0,85 (1 + 0,6) = 1,4 m/s<sup>2</sup>


*Vogn litra B5:  
:a<sub>K</sub>= 0,65 (1 + 0,4) = 0,9 m/s<sup>2</sup>
:a<sub>K</sub>= 0,85 (1 + 0,4) = 1,2 m/s<sup>2</sup>



Anbefalt verdi av komforthensyn er 1,0 m/s<sup>2</sup>. Ukompensert sideakselerasjoni
sporplanet lik 0,65 m/s<sup>2</sup> tilfredsstiller dette kravet. a<sub>U</sub>
lik 0,85 m/s<sup>2</sup> medfører at komfortkravet overskrides. Særlig for vogn litra B5 blir den kompenserte
sideakselerasjon i vognkassefor høy.


Vogner av type B7 framføres med en hastighet i kurvene (plusshastigheter)som tilsvarer a<sub>U</sub> = 0,85 m/s<sup>2</sup> til 1,00 m/s<sup>2</sup>. Dermed blir sideakselerasjonen i vognkassen for denne vognen:



*Vogn type B7:  
:a<sub>K</sub>= 0,85 (1 + 0,2) = 1,0 m/s<sup>2</sup>
:a<sub>K</sub> = 1,00 (1 + 0,2) = 1,2 m/s<sup>2</sup>


Verdien av denne akselerasjonen i vognkasse er også høy for B7-vogner. Det
må imidlertid bemerkes at vognen er utstyrt med meget god fjæring sideveis.
Denne fjæringen fører til reduserte laterale akselerasjoner i vognkasse som
følge av ujevnheter i sporet.


Av hensyn til komfort kan altså konvensjonelt materiell ikke framføres med
høyere hastigheter enn de som tilsvarer en ukompensert sideakselerasjon i
sporplanet lik 1,00 m/s<sup>2</sup>. Imidlertid moderne vognmateriell (for passasjerer) er
utstyrt med gode boggier. Slikt vognmateriell kan framføres med høyere
hastigheter og dermed høyere ukompensert sideakselerasjon i sporplanet enn
angitt over før grenseverdier for sporkrefter blir nådd. Dersom en slik
hastighetsøkning er ønskelig, må av komforthensyn vognen krenge innover i
kurven i stedet for utover (som for konvensjonelt materiell). Dette betyr at
rullvinkelkoeffisienten må være negativ. Vognkassen får dermed en større
helning i forhold til horisontalplanet enn sporplanet. Vognkassens ” overhøyde”
blir større enn overhøyden i sporet. En slik oppførsel lar seg bare gjennomføre
dersom vognkassen utstyres med et krengesystem.


Et aktivt krengesystem(motordrevet krengebevegelse) kan for eksempel gi en
rullvinkelkoeffisient r = - 0,6. Dersom vognen framføres med ukompensert
sideakselerasjon i sporplanet lik 1,8 m/s<sup>2</sup>, blir den kompenserte
sideakselerasjon i vognkasse:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_K = a_U \cdot (1+f) = 1,8 \cdot (1+(-0,6)) = 0,7 m/s^2 </math></center> || align="right" | (2.227)
|}


Gjennomkjøring i kurver med så høy ukompensert sideakselerasjon medfører
ca. 30 % hastighetsøkning i forhold til de hastigheter som kan oppnås med
konvensjonelt materiell.


Det bør videre poengteres at den kompenserte sideakselerasjon a<sub>K</sub>
ikke bør overskride 1,0 m/s<sup>2</sup>. Dette har sammenheng med den økte negative effekten
av ujevnheter i sporet. Denne effekten øker med tredje potens av
hastighetsøkningen.


Det er allerede nevnt at høyere komfort oppnås i togmateriell hvor vogner
utstyres med krengesystem og at dette forhold tillater økt hastigheter i kurver.
I figur 2.116 er vist krengesystemet på vogner i X2.




[[Fil:Image345.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.116 Vognkassens krenging og rulling på X2000.</caption>]]







Ved gjennomføring av omfattende forsøk med dette togsettet har det vist seg
at en maksimal helning eller krenging av vognen på 6,5° gir meget god
komfort for de reisende passasjerer. For å oppnå en effektiv krenging av
vognkasse på 6,5° er det på grunn av fjæringen nødvendig med en effektiv
helning på 8° mellom boggirammen og vognkassen. Dette framkommer ved
helninger på følgende måte:



Boggiramme – boggibjelke: 8 grader

Boggibjelke – vognkasse: - 0,5 grader

Boggiramme – jernbanespor: - 1,0 grad

Effektiv helning på vognkasse: 6,5 grader



Denne helningen medfører ca. 70 % kompensasjon av sentrifugalkraften ved
gjennomkjøring i kurver. Under forutsetning av at komforten ikke skal bli
dårligere, betyr dette at hastigheten kan økes med ca. 30 %. Selve rotasjonen
av vognkasse skjer i nærheten av vognens tyngdepunkt og dette har en meget
gunstig effekt mht. opptredende sporkrefter.

Ovennevnte skal belyses med et eksempel. Det tas utgangspunkt i en vogn av
type Vogn litra B3 med rullvinkelkoeffisient r lik 0,6 og vogn i X2 med r = -0,7.
Iht. tidligere betraktninger skal den kompenserte sideakselerasjon i vognkasse
av hensynet til komfort ikke overstige 1,0 m/s<sup>2</sup>.

Med utgangspunkt i uttrykket:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_K = (1+r) \cdot a_U </math></center> || align="right" | (2.228)
|}



kan den ukompenserte sideakselerasjon i sporplanet beregnes:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_U = {a_K \over (1+r)} </math></center> || align="right" | (2.229)
|}


Dette gir følgene verdier for den ukompenserte sideakselerasjon i sporplanet
for de 2 vogntypene:


Vogn litra B3:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_u = {1,0 \over 1,6} = 0,65m/s^2 </math></center> || align="right" | (2.230)
|}


Vogn i X2:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_u = {1,0 \over (1 - 0,7)} = 3,33m/s^2 </math></center> || align="right" | (2.231)
|}


a<sub>U</sub> lik 3,33 m/s<sup>2</sup> er for høy og medfører risiko for avsporing eller velting.
Akselerasjonen begrenses til 1,8 m/s<sup>2</sup> av sikkerhetsgrunner. Den opptredende
kompenserte sideakselerasjon i vognkasse beregnes da til å være:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_k = 1,8 \cdot (1-0,7)=0,54m/s^2 <1,00m/s^2 </math></center> || align="right" | (2.232)
|}


Dette gir meget god komfort i forhold til konvensjonelt materiell.

Det kan vises at a<sub>U</sub> = 1,80 m/s<sup>2</sup> tilsvarer manglende overhøyde I = 280 mm.
Helningen til vognkasse i forhold til sporplanet beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \phi_{fr} = { (1 -f_r) \over s} \cdot I \cdot {180 \over \pi} </math></center> || align="right" | (2.233)
|}


Innsatt i formel gir dette:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \phi_{fr} = { (1 -0,3) \over 1500} \cdot 280 \cdot {180 \over \pi} = 8,5^o </math></center> || align="right" | (2.234)
|}


Ved å ta utgangspunkt i uttrykket for den ukompenserte sideakselerasjonen i
sporplanet kan hastighetsøkningen beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_U = {v^2 \over R} - g \cdot {D \over S} </math></center> || align="right" | (2.235)
|}



Uttrykket løses mht. hastighet:


{|width="100%"
|-
|<center><math> v = \sqrt {R \cdot (a_U + g \cdot {D \over S})} </math></center> || align="right" | (2.236)
|}


Dersom R er 500 m og D er 150 mm blir hastighetene:


Vogn litra B3.



{|width="100%"
|-
|<center><math> v = \sqrt {500 \cdot (0,65 + 9,81 \cdot {150 \over 1500})} </math></center> || align="right" | (2.237)
|}


Dette gir tilsvarende en hastighet for krengetog på 37 m/s<sup>2</sup>.
Hastighetsøkningen er på over 30 % og gir bedre komfort.

Det må imidlertid gjøres oppmerksom på at krenging opp til 8<sup>o</sup>
(tilsvarende en kompensasjonsgrad på 70 %) krever lange overgangskurver. I korte
overgangskurver vil rullvinkelhastigheten bli så stor (over 6 grader) at forholdet
kan medføre risiko for togsyke.

Sporet i Sverige har lange overgangskurver og det er derfor berettiget å
benytte en så høy kompensasjonsgrad. I Norge er overgangskurvene kortere
og for det norske krengetoget er det derfor valgt en kompensasjonsgrad på 55
% som kompromiss.


=== Bevegelseslikninger for rullende materiell ===



Det skal betraktes et tilfelle med kvasistatisk gjenomløp av det rullende
materiell i kurven. Kvasistatisk gjenomløp betyr at det ikke finnes sporfeil eller
andre forstyrrelser. Det antas at vognkassen har et tyngdepunkt som ligger
høyere enn den laterale kraftresultanten i fjærsystemet.


Dersom vognen gjennomløper kurven med en høyere hastighet enn den
balanserte hastighet, virker den resulterende laterale kraft utover. Vognkassen
påvirkes da av et moment som virker i et tverrstilt vertikalplan. Forholdet fører
til deformasjoner i fjærsystemet som bevirker at vognkassen vil helle utover i
kurven, dvs. i samme retning som den resulterende sentrifugalkraften med
fradrag av sporets overhøyde. Denne krengingen av vognkassen medfører
som nevnt en redusering av helningen til det rullende materiell. Og nettopp det
å skape en slik helning er hele hensikten med å bygge spor med overhøyde i
kurve. En del av den kompenserte sideakselerasjonen som skapes ved
overhøyde i sporet i en kurve, går dermed tapt.



Ved et kvasistatisk gjenomløp i kurve innføres følgende betegnelser:


a<sub>y</sub>  = lateral sideakselerasjoni sporplanet (m/s
<sup>2</sup>
)

a<sub>yz</sub>  = lateral akselerasjon i gulvet i vognkassen (m/s
<sup>2</sup>
)

a<sub>z</sub> = vertikal akselerasjon i sporplanet (m/s
<sup>2</sup>
)

a<sub>zk</sub> = vertikalakselerasjon i gulvet i vognkasse (m/s
<sup>2</sup>
)

b = halve avstand mellom hjulenes løpesirkler (m)

D = overhøyde i sirkelkurve (m)

g = tyngdens akselerasjon (m/s
<sup>2</sup>
)

R = radius i kurve (m)

v = hastighet (m/s)

φ<sub>D</sub>
= helning til sporplanet  (radianer)

φ<sub>fr</sub> = helning til vognkasse i forhold til sporplanet (radianer)

φ<sub>fr</sub> er definert til å være positiv dersom helningen av vognkassener motsatt av
helningen av sporplanet.


Det antas at sporplanet er referansesystemet. Da dannes følgende likninger:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_y = {v^2 \over R} \cdot \cos  \phi_D - g \cdot \sin \phi_D = {v^2 \over R} \cdot \cos \phi_D - g \cdot {h \over 2b}  </math></center> || align="right" | (2.240)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_Z = g \cdot \cos  \phi_D - {v^2 \over R} \cdot \sin \phi_D = g \cdot \cos \phi_D + {v^2 \over R} \cdot {h \over 2b}  </math></center> || align="right" | (2.241)
|}


Med vognkassensom referansesystem beregnes de akselerasjoner som
oppleves av personer i vognen:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{YK} = {v^2 \over R} \cdot \cos  ( \phi_D - \phi_{fr}) - g \cdot \sin ( \phi_D - \phi_{fr} )  </math></center> || align="right" | (2.242)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{ZK} = g \cdot \cos  ( \phi_D - \phi_{fr}) + {v^2 \over R} \cdot \sin ( \phi_D - \phi_{fr} )  </math></center> || align="right" | (2.243)
|}


Det påpekes at vinklene som regel er små (≤ 0,1 radianer). Med tilnærmelse
kan da skrives:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{YK} \approx  { v^2 \over R} - g \cdot \left( {h \over 2b} - \phi_{fr} \right)  </math></center> || align="right" | (2.244)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{ZK} \approx  g  </math></center> || align="right" | (2.245)
|}



Forholdet mellom de laterale akselerasjonene i vognkasse og sporplanet kan
uttrykkes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> {a_{YK} \over a_y} =  {{ v^2 \over R} - g \cdot \left( {h \over 2b} - \phi_{fr} \right) \over {v^2 \over R } - g \cdot {h \over 2b}}  </math></center> || align="right" | (2.246)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> {a_{YK} \over a_Y} =  {{ v^2 \over R} - g \cdot  {h \over 2b}  \over a_Y } + {g \cdot \phi_{fr} \over a_Y}  </math></center> || align="right" | (2.247)
|}


{|width="100%"
|-
|<center><math> {a_{YK} \over a_Y} =  1 + {g \cdot \phi_{fr} \over a_Y}  </math></center> || align="right" | (2.248)
|}


Det er blitt utledet økningen av den laterale akselerasjon i vognkassen i
forhold til sporplanet:


{|width="100%"
|-
|<center><math> r= g \cdot {\phi_{fr} \over a_Y}  </math></center> || align="right" | (2.249)
|}


r er rullvinkelfaktoren og er altså en funksjon av rullvinkelen uttrykt i radianer til
vognmateriellet og den laterale akselerasjon i sporplanet.

Den effektive rullfaktor kan beregnes:


{|width="100%"
|-
|<center><math> f_r= (1+r)  </math></center> || align="right" | (2.250)
|}


r settes inn med positivt fortegn ved helning innover i kurven og med negativt
fortegn ved helning utover i kurven.




==== Sammenstilling av bevegelseslikninger i kurver ====




Med betegnelsene i foregående avsnitt gjelder:
Den effektive rullefaktor:




{|width="100%"
|-
|<center><math> f_r= {a_{YK} \over a_Y}  </math></center> || align="right" | (2.251)
|}



Lateral akselerasjon i sporplanet:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_Y= \left( {v^2 \over R} - g \cdot {D \over 2b} \right)  </math></center> || align="right" | (2.252)
|}


Denne kan også uttrykkes som:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_Y \approx { I \cdot g \over 2b}  </math></center> || align="right" | (2.253)
|}


Lateral akselerasjon i vognkassens gulv:


{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{YK}= f_r  \left( {v^2 \over R} - g \cdot {D \over 2b} \right)  </math></center> || align="right" | (2.254)
|}


Denne kan også uttrykkes som:



{|width="100%"
|-
|<center><math> a_{YK} \approx f_r \cdot { I \cdot g \over 2b}  </math></center> || align="right" | (2.255)
|}


Det laterale rykk i overgangskurven kan beregnes:



{|width="100%"
|-
|<center><math> rykk \approx f_r \cdot { I \cdot g \over 2b} \cdot {v \over Lt}  </math></center> || align="right" | (2.256)
|}


Rullvinkel forårsaket ved overhøyde:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \phi_D \approx  {D \over 2b} \cdot {180 \over \pi}  </math></center> || align="right" | (2.257)
|}


Rullvinkel forårsaket ved vognens rulling:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \phi_{fr} \approx (1 - fr) \cdot {I \over 2b} \cdot {180 \over \pi}  </math></center> || align="right" | (2.258)
|}


Den samlede rulling:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \phi = \phi_D + \phi_{fr} \approx  { D + (1 - fr) \cdot I \over 2b} \cdot {180 \over \pi}  </math></center> || align="right" | (2.259)
|}


Rullvinkelhastigheten blir:


{|width="100%"
|-
|<center><math> \dot \phi  \approx  { D + (1 - fr) \cdot I \over 2b} \cdot {v \over Lt} \cdot {180 \over \pi}  </math></center> || align="right" | (2.260)
|}


Her betyr.


Lt er overgangskurvens lengde

I er manglende overhøyde

=== Krengeteknikk ===




Den maksimale tillatte kjørehastighet til det rullende materiell i en kurve blir
bestemt av hensynet til en sikker framføring. Faktorer som kommer i
betraktning og som er bestemmende, er sikkerhet mht. avsporing og stabilitet i
overbygningen samt kvaliteten på selve sporet og den komfort som
passasjerene utsettes for. Vogner som blir utstyrt med innretninger slik at
vognkassen beveger seg innover i kurven, kan tillates å ha høyere hastigheter
enn konvensjonelt materiell ut fra hensynet til komfort. Dette har sammenheng
med at den resulterende laterale akselerasjon i slike tog (krengetog) blir
mindre enn for konvensjonelt materiell. Krengeteknikken med de nødvendige
innretninger er derfor en metode som kan benyttes til å øke hastigheten i
kurver. Det er imidlertid en forutsetning at sporet har tilfredsstillende stabilitet.

Uttrykkene passiv og aktiv krengeteknikkfinnes. Ved passiv krengeteknikk har
vognkassen oppheng som en pendel og utøver helning mot innside av kurven
på grunn av de opptredende sentrifugalkrefter. Ved aktiv krengeteknikk blir
vognkassen styrt innover i kurven ved en driv(kraft)enhet og kunstig
styreenhet.


Installering av innretning for krengeteknikk har kun betydning for komfort. Men
i sammenheng med krengeteknikken blir det gjort også andre tiltak. Disse kan
være redusering av aksel- og hjullast på vognmateriellet og en moderne boggi
med radiell innstilling av hjulsatsene samt redusering av uavfjæret masse.
Dette medfører at den samlede belastning på sporet som består av
kvasistatiske og dynamiske krefter, i hvert fall ikke behøver å bli større ved
krengetog enn ved konvensjonelt materiell. Dette til tross for at hastighetene i
kurvene er større.


På strekninger hvor krengetog skal trafikkere, er det flere hensyn å ta. Mht.
trasseringen er det viktig å vurdere forholdet mellom overgangskurvens
lengde, størrelsen på sirkelkurven samt overhøyde i sirkelkurven. Sporveksler
er å oppfatte som tvangspunkter ved kjøring i avvik. Minste tverrsnitt samt
beliggenhet av kjøreledningen må også tas hensyn til. Sikkerhet ved
framføring for overvåking av hastighet og sikring av planoverganger er andre
viktige aspekter.


Kombinasjonen av krengeteknikk i seg selv og tiltak på det rullende materiell
samt i infrastrukturen må sees på som et lukket og samlet driftssystem.





==== Innretninger for krenging av vognkassen ====



Det er utviklet flere systemer mht. til aktiv krenging som skal ivareta
krengingen til vognkassen. Det er da hensiktsmessig å betrakte forskjeller i
den mekaniske oppbyggingen til systemene. En viktig forskjell består i om det
er en funksjonell elle en ikke funksjonell kombinasjon med andre komponenter
til det rullende materiell (Fahrwerk:luftfjærer, Wankstütze).


Det kan nevnes at Bombardier/Talbot har et system for aktiv krengeteknikk
som kalles ” Cont-Roll” . Den funksjonelle integrasjon for dette systemet består i
at krenging gjennomføres i sammenheng med ” Wankstützenverstellung”.


For alle andre systemer er det en funksjonell atskillelse. Den mekaniske
tilkoplingen av vognkassen til boggien i bevegelsesflaten skjer for nesten alle
systemer ved en trapesformet pendel. Dette gjelder løsninger fra Adtranz,
Fiat, Siemens-SGP og Alstom. Det vises til figur 2.117.



[[Fil:Image379.png|400px|thumb||center|<caption>
Figur 2.117 Innretningssystemer for krengeteknikk.</caption>]]







Noen systemer baserer seg på en bjelke i boggien som er formet som en
sirkel. Vognkassen har opplegg og beveger seg på et bueformet rullelager.
Slike trapesformede pendler og bueformede bjelker er robuste komponenter
og tar opp den vertikale lasten fra vognkassen samt de opptredende
sentrifugalkrefter.

==== Inngripen i vognkasse ====





Standardutvikling er at drivenheten for krengesystemene er plassert under
vognkassegulvet i boggien. Dermed blir inngripen i selve vognkassen unngått.





==== Strømavtaker ====





Ved de elektrifiserte krengetogene må det sørges for at strømavtakeren ikke
krenger når toget gjennomløper kurven. Den enkleste måten å gjøre dette på
er å ha en traksjonsenhet i togsettet som ikke krenger.
Det eksisterer løsninger hvor det er montert en bærerygg på den
primærfjærede boggirammen. Denne løsningen medfører at strømavtakeren
blir uavhengig av vognkassen og den helning som vognkassen får.







==== Drivenhet for krenging ====






Det er standard å benytte hydrauliske drivenheter i forbindelse med et aktivt
krengesystem. Disse enhetene har den fordel at de ved høye trykk i
driftsituasjon lar seg bygge inn kompakt i boggirammeverket. Hydrauliske
drivenheter kan utøve høye krefter for å framskaffe krengingen. Gjennom
elektromagnetiske ventiler er det mulig å gjennomføre en fin og tilpasset
styring. Det trengs imidlertid et eget system for tilførsel av energi for å besørge
krengingen.



Det er også utviklet elektriske drivenheter for å besørge krengingen av
vognkassen. Fordelen med slike systemer er flere. Vedlikeholdsbehovet er lite
samt at styringen er enkel. Videre kan krengehastigheten varieres.






==== Høyde på dreiepol ====






Forskjellige undersøkelser og forsøk viser at dreieaksen for krengingen mht.
vognkassens lengdeakse ideelt bør ligge i området ved sitteflaten i setene
eller litt over. Magehøyde for sittende passasjerer er en passende høyde for
dreiepolen. Det er overveiende sannsynlig at passasjerene vil føle
dreiebevegelsen minst ubehagelig ved en slik plassering av dreiepolen.


Er dreiepolenplassert ved gulvet i vognkassen, vil dreiebevegelsen lett bli
oppfattet som vakling. Dette forhold kan føre til togsyke.






==== Nyttig krengevinkel ====





Ved bruk av innretningen for krenging av vognkassenkan en maksimal
krengevinkelbestemmes. På grunn av fjæregenskapene til primær- og
sekundærfjæren vil vognkassen ved høy hastighet i kurven få helning utover i
kurven på grunn av store sentrifugalkrefter. Dette forholdet medfører at den
effektive krengevinkel blir ca. 1,5 grader mindre enn den krengevinkel som
kan innstilles på grunn av innretningen til krengesystemet.






==== Lateral føring og tilbakeføring av vognkasse ====





Det er påpekt at det er ønskelig å ha dreiepolenknapt over tyngdepunktet i
vognkassen og i høyde med sitteflaten på setene. Det er derfor nødvendig ved
siden av den reine dreiebevegelse å ha en lateral bevegelse av vognkassen i
forhold til boggirammen i bevegelsesflaten mellom vognkasse og boggi.
Denne laterale forskyvningen kan realiseres med den mekaniske innretningen
til krengesystemet. Det er også mulig å anordne tilleggskomponenter.


Videre må det sørges for at vognkassenetter gjennomløpet i kurven blir
nøyaktig rettet opp, dvs. vognkassen må tilbake til nullstillingen. Dette gjelder
også for det tilfelle at drivenheten for krengesystemet skulle slutte å virke.





==== Lateral fjæring ====




Den laterale fjæringen skjer som regel ved sekundærfjæringen. Dersom
innretningen for helningen til vognkassen ligger over sekundærfjæringen, så
blir delvis en aktiv lateral fjæring og en tverrsentrering bygget inn. Dette tiltaket
begrunnes med en for sterk belastning på sekundærfjæren i tverretningen.
Dessuten påpekes det at tiltaket er nødvendig for å øke kjørekomforten.
Formen på denne innretningen har også betydning for tillatt bredde på
vognkassen.






==== Sensorer for krenging ====





Krengetogene er utrustet med sensorer som muliggjør krengingen. Metoden
går ut på at den laterale akselerasjon i gulvet i vognkassen blir målt og som
funksjon av hastigheten blir krengevinkelen bestemt. På minst en boggi for
hver vogn i toget er det montert akselerometre som måler den ukompenserte
laterale akselerasjon. Ved en slik løpende måling må det kartlegges om den
målte laterale akselerasjon er bevirket sentrifugalkrefter eller en
uregelmessighet i bevegelsen på grunn av sporfeil i overbygningen. For å
unngå utilsiktede bevegelser på grunn av disse uregelmessighetene må de
høye frekvensene til signalene for akselerasjonen filtreres. Et slikt tiltak
bevirker imidlertid en tidsmessig forsinkelse av signalflyten og resultatet er en
forsinket helning av vognkassen. Dette resulterer i en høyere lateral
akselerasjon ved innkjøring til eller ved utkjøring av kurver enn i kurvene selv.
Denne høyere akselerasjonen i trasseringspunktene medvirker til husking eller
gynging av vognkassen og kan under omstendighetene føre til togsyke.
Spesielt vil det være den første vognen som blir utsatt for en slik forsinket
hendelse. For de etterfølgende vognene finnes det flere muligheter til å
korrigere denne forsinkelsen. Bl.a. kan sensorer i forangående vogn gi
signaler slik at forsinkelse i krengingen til den vognen som skal inn i kurven,
unngås. En annen metode er å benytte et overordnet ledesystem. Jo kortere
overgangskurven er, jo hurtigere må styringen reagere, dvs. at hastigheten til
innretningen for krengingen må bli høyere.


Målingen av den laterale akselerasjon i gulvet til vognkassener altså ikke nok.
Dette selv om det bare er denne (vognkassen) som skal krenge.
Måleinstrumenter som gyroskop må installeres i den hensikt å oppdage
kurvens begynnelse og slutt tidsnok slik at krengingen til vognkassen kan
starte umiddelbart i trasseringspunktene. Med trasseringspunkter menes
overgangskurvens begynnelse (OB) og overgangskurvens slutt (OE). Bruk av
sensorer krever et meget høy intensitetsnivå. Dette gjelder også
grunnalgoritmen i sensorsystemet. Utvikling og forsøk av slike grunnalgoritmer
krever mye tid. Det må også bemerkes at en slik grunnalgoritme på ingen
måte er universell. Den regelalgoritme som gjelder for en region eller land,
behøver ikke å gjelde ved andre forvaltninger. Dette har naturligvis
sammenheng med at trasseringsregler kan være forskjellige i ulike land. I
ytterste konsekvens vil en grenseoverskridende trafikk med krengetog kunne
føre til uheldige målkonflikter ved utarbeidelse av regelalgoritmer.





==== Krenging med støtte fra datateknikk ====




På grunn av det nødvendige høye intensitetsnivået i bruk av sensorer og den
nødvendige tid for å utvikle regelalgoritmer i forbindelse med krengesystemer
er det fremmet forslag om å bruke datateknikk, dvs. bruk av datastøttede
programmer for å styre krengingen til krengetogene. Slike systemer tar
utgangspunkt i strekningsdata som må lagres i programmene. Slike
programmer skal kunne medføre at vognene (også første vogn) starter
bevegelsene mer presist.












LITTERATURHENVISNINGER


1.  '''Die Eisenbahnschiene'''
Fritz Fastenrath 1977

2.  '''Modern Railway Track'''
C Esveld 1989

3.  '''Engineering Mechanics Volume 2'''
J.L.Meriam 1980

4.  '''Samverkan Fordon – Bana'''
Evert Andersson 1990

5.  '''Railway Vehicle Dynamics'''
AEA Technology 1998

6.  '''Komfortverbesserungen an Schienenfahrzeugen für den Personenverkehr'''
Manfred Mitschke ZEV + DET Glas. Ann. 123 (19999) 4 April

7.  '''ORE B 55'''
Hjulavlastning